Calcule a área das regiōes limitadas pelas seguintes rosáceas: (calcule a área de uma pétala e multiplique pelo número de pétalas). Esboce as regiões.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área das regiões limitadas pela rosácea dada por
. Foi indicado calcular a área de uma pétala e multiplicar pelo número de pétalas. Informações importantes que temos:
- A curva em coordenadas polares é
. - Deve ser calculada a área de uma pétala e depois a área total (multiplicando pelo número de pétalas).
- É pedido também esboçar (descrever) as regiões.
Passo 2
Lembrete e ideia do método (fórmula que vamos usar).
- Em coordenadas polares, a área de uma pequena fatia angular
entre e é aproximada por uma área de setor. Isso leva à fórmula padrão para área em polares:
- Para obter a área de uma região descrita por
entre e usamos a integral:
Explicando de forma bem simples: quando
varia pouco, a região приближadamente é um setor de círculo de raio
e ângulo
, cuja área é
. Somando (integrando) para todos os
do intervalo dá a área total.
Passo 3
Determinar quantas pétalas existem e qual intervalo
corresponde a uma pétala.
- Zeros da curva (fronteiras das pétalas) ocorrem quando
, isto é quando .
- Para
com ímpar, a rosácea tem pétalas (regra prática: tem pétalas se é ímpar). - Escolhemos uma pétala centrada em
. Onde em torno de ? A condição dá
Portanto, uma pétala pode ser obtida integrando
de
a
. O comprimento máximo da pétala (ponta) ocorre em
, isto é em
, com
.
Passo 4
Montar a integral para a área de uma pétala.
- Usando a fórmula da área em coordenadas polares,
- Simplificando o fator constante:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
- Usar a identidade trigonométrica
. Aqui , então
- Substituindo na integral:
- Separando integrais e integrando:
- Avaliando
nas extremidades: para tem . Logo a integral da cosseno dá zero. - Assim
Passo 6
Área total (multiplicar pela quantidade de pétalas).
- A rosácea tem
pétalas, então a área total é
Passo 7
Como esboçar a rosácea (instrução passo a passo para desenhar à mão):
- Marque o pólo (origem) e os eixos polares. Os três centros das pétalas (direções das pontas) ocorrem quando
, isto é em . Nessas direções a (ponta das pétalas). - As pétalas estão simetricamente distribuídas a cada
. - Cada pétala ocupa o intervalo angular de largura
(por exemplo, uma pétala entre e centrada em ). Desenhe uma curva saindo do polo em , crescendo até em e voltando a zero em . Repita rotacionando por para as outras pétalas. - Observação prática: para
entre essas fronteiras é positivo e descreve uma pétala; onde muda de sinal, o r passa por zero e inicia outra pétala.
Resposta
Área de uma pétala:
Área total (3 pétalas):
Área total (3 pétalas):