Calcule a área das regiōes limitadas pelas seguintes rosáceas: (calcule a área de uma pétala e multiplique pelo número de pétalas). Esboce as regiões.
r=5 \cos (3 \theta)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área das regiões limitadas pela rosácea dada por r=5\cos(3\theta). Foi indicado calcular a área de uma pétala e multiplicar pelo número de pétalas. Informações importantes que temos:
  • A curva em coordenadas polares é r=5\cos(3\theta).
  • Deve ser calculada a área de uma pétala e depois a área total (multiplicando pelo número de pétalas).
  • É pedido também esboçar (descrever) as regiões.

Passo 2

Lembrete e ideia do método (fórmula que vamos usar).
  • Em coordenadas polares, a área de uma pequena fatia angular \mathrm{d}\theta entre r e r+\mathrm{d}r é aproximada por uma área de setor. Isso leva à fórmula padrão para área em polares:
\mathrm{d}A=\tfrac{1}{2}r^2\,\mathrm{d}\theta.
  • Para obter a área de uma região descrita por r(\theta) entre \theta=\alpha e \theta=\beta usamos a integral:
A=\int_{\alpha}^{\beta}\tfrac{1}{2}\bigl(r(\theta)\bigr)^2\,\mathrm{d}\theta.
Explicando de forma bem simples: quando \theta varia pouco, a região приближadamente é um setor de círculo de raio r e ângulo \mathrm{d}\theta, cuja área é \tfrac{1}{2}r^2\mathrm{d}\theta. Somando (integrando) para todos os \theta do intervalo dá a área total.

Passo 3

Determinar quantas pétalas existem e qual intervalo \theta corresponde a uma pétala.
  • Zeros da curva (fronteiras das pétalas) ocorrem quando r=0, isto é quando \cos(3\theta)=0.
\cos(3\theta)=0 \quad\Rightarrow\quad 3\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta=\tfrac{\pi}{6}+k\tfrac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
  • Para r=5\cos(3\theta) com n=3 ímpar, a rosácea tem 3 pétalas (regra prática: r=a\cos(n\theta) tem n pétalas se n é ímpar).
  • Escolhemos uma pétala centrada em \theta=0. Onde \cos(3\theta)\ge0 em torno de \theta=0? A condição \cos(3\theta)\ge0
- \tfrac{\pi}{2}\le 3\theta\le \tfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{\pi}{6}\le \theta\le \tfrac{\pi}{6}.
Portanto, uma pétala pode ser obtida integrando \theta de -\tfrac{\pi}{6} a \tfrac{\pi}{6}. O comprimento máximo da pétala (ponta) ocorre em \cos(3\theta)=1, isto é em \theta=0, com r_{\max}=5.

Passo 4

Montar a integral para a área de uma pétala.
  • Usando a fórmula da área em coordenadas polares,
A_{\text{pétala}}=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\tfrac{1}{2}\bigl(5\cos(3\theta)\bigr)^2\,\mathrm{d}\theta.é
  • Simplificando o fator constante:
A_{\text{pétala}}=\tfrac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}25\cos^2(3\theta)\,\mathrm{d}\theta =\tfrac{25}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos^2(3\theta)\,\mathrm{d}\theta.é

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
  • Usar a identidade trigonométrica \cos^2 u=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2u)\bigr). Aqui u=3\theta, então
\cos^2(3\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(6\theta)\bigr).
  • Substituindo na integral:
A_{\text{pétala}}=\tfrac{25}{2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(6\theta)\bigr)\,\mathrm{d}\theta =\tfrac{25}{4}\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\bigl(1+\cos(6\theta)\bigr)\,\mathrm{d}\theta.é
  • Separando integrais e integrando:
\int_{-\pi/6}^{\pi/6}1\,\mathrm{d}\theta=\left[\theta\right]_{-\pi/6}^{\pi/6}=\tfrac{\pi}{6}-\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\pi}{3},
\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos(6\theta)\,\mathrm{d}\theta=\left[\tfrac{1}{6}\sin(6\theta)\right]_{-\pi/6}^{\pi/6}.
  • Avaliando \sin(6\theta) nas extremidades: para \theta=\pm\tfrac{\pi}{6} tem \sin(6\theta)=\sin(\pm\pi)=0. Logo a integral da cosseno dá zero.
  • Assim
A_{\text{pétala}}=\tfrac{25}{4}\cdot \tfrac{\pi}{3}=\tfrac{25\pi}{12}.é

Passo 6

Área total (multiplicar pela quantidade de pétalas).
  • A rosácea tem 3 pétalas, então a área total é
A_{\text{total}}=3\cdot A_{\text{pétala}}=3\cdot \tfrac{25\pi}{12}=\tfrac{25\pi}{4}.é

Passo 7

Como esboçar a rosácea (instrução passo a passo para desenhar à mão):
  • Marque o pólo (origem) e os eixos polares. Os três centros das pétalas (direções das pontas) ocorrem quando \cos(3\theta)=1, isto é em \theta=0,\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}. Nessas direções a r=5 (ponta das pétalas).
  • As pétalas estão simetricamente distribuídas a cada \tfrac{2\pi}{3}.
  • Cada pétala ocupa o intervalo angular de largura \tfrac{\pi}{3} (por exemplo, uma pétala entre -\tfrac{\pi}{6} e \tfrac{\pi}{6} centrada em 0). Desenhe uma curva saindo do polo em \theta=-\tfrac{\pi}{6}, crescendo até r=5 em \theta=0 e voltando a zero em \theta=\tfrac{\pi}{6}. Repita rotacionando por \tfrac{2\pi}{3} para as outras pétalas.
  • Observação prática: para \theta entre essas fronteiras r é positivo e descreve uma pétala; onde \cos(3\theta) muda de sinal, o r passa por zero e inicia outra pétala.

Resposta

Área de uma pétala: \tfrac{25\pi}{12}
Área total (3 pétalas): \tfrac{25\pi}{4}

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