Questão 03 - Integrais indefinidas por frações parciais
\int \frac{1}{x^{2}-4 x+10} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{2}-4x+10}\,dx.
Informações dadas:
  • A integral é da forma racional com um polinômio quadrático no denominador.
  • O objetivo é encontrar uma função primitiva (isto é, integrar) e incluir a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: completar o quadrado no denominador para deixá-lo na forma (\text{algo})^{2}+a^{2}, que é a forma que liga com a integral do arco-tangente.
Escrevendo o quadrado completo:
x^{2}-4x+10 = (x^{2}-4x+4)+6 = (x-2)^{2}+6.

Passo 3

Com o denominador na forma (x-2)^{2}+6, fazemos a substituição simples para clarear a aplicação da fórmula padrão. Defina
u = x-2 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
A integral fica
\int \frac{1}{(x-2)^{2}+6}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}+6}\,du.

Passo 4

Agora lembro uma fórmula básica e muito usada: para a>0,
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Explicação dessa fórmula (passo didático): se fizer a substituição t=\dfrac{u}{a} então du=a\,dt e
\int\frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du=\int\frac{1}{a^{2}t^{2}+a^{2}}a\,dt=\frac{1}{a}\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt=\frac{1}{a}\arctan(t)+C=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Aqui a representa a raiz positiva do termo constante no denominador quando escrito como u^{2}+a^{2}.

Passo 5

No nosso caso u^{2}+6 corresponde a u^{2}+a^{2} com
a^{2}=6 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{6}.
Aplicando a fórmula com u=x-2 e a=\sqrt{6}:
\int \frac{1}{u^{2}+6}\,du = \frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{6}}\right)+C.
Voltando para a variável x (pois u=x-2):
\int \frac{1}{x^{2}-4x+10}\,dx = \frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\left(\frac{x-2}{\sqrt{6}}\right)+C.

Passo 6

Checagem rápida por derivação (para ganhar confiança na resposta): derive
F(x)=\frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\left(\frac{x-2}{\sqrt{6}}\right).
Usando a regra da cadeia e \dfrac{d}{dz}\arctan(z)=\dfrac{1}{1+z^{2}},
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{1+\left(\dfrac{x-2}{\sqrt{6}}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{\dfrac{(x-2)^{2}+6}{6}}=\frac{1}{(x-2)^{2}+6}=\frac{1}{x^{2}-4x+10},
que é exatamente o integrando. Tudo certo.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{6}}\arctan\!\left(\frac{x-2}{\sqrt{6}}\right)+C

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