Questão 03 - Integrais indefinidas por frações parciais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integral é da forma racional com um polinômio quadrático no denominador.
- O objetivo é encontrar uma função primitiva (isto é, integrar) e incluir a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: completar o quadrado no denominador para deixá-lo na forma
, que é a forma que liga com a integral do arco-tangente.
Escrevendo o quadrado completo:
Passo 3
Com o denominador na forma
, fazemos a substituição simples para clarear a aplicação da fórmula padrão. Defina
A integral fica
Passo 4
Agora lembro uma fórmula básica e muito usada: para
,
Explicação dessa fórmula (passo didático): se fizer a substituição
então
e
Aqui
representa a raiz positiva do termo constante no denominador quando escrito como
.
Passo 5
No nosso caso
corresponde a
com
Aplicando a fórmula com
e
:
Voltando para a variável
(pois
):
Passo 6
Checagem rápida por derivação (para ganhar confiança na resposta): derive
Usando a regra da cadeia e
,
que é exatamente o integrando. Tudo certo.