A expansão dos poluentes pela atmosfera é governada em parte pelos efeitos dos ventos, mas também pela tendência natural das moléculas em se difundirem. No caso da difusão, o processo depende da distância que uma molécula pode percorrer antes de colidir com outra molécula. Calcule o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar considerando \sigma=0,43 \mathrm{~nm}^{2} a 25^{\circ} \mathrm{C} e (b) 103 kPa

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar (ou seja, a distância média entre colisões sucessivas).
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Seção eficaz de colisão (cruzamento de choque): \sigma=0,43\\ \mathrm{nm}^2.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão para a parte (b): 103\\ \mathrm{kPa}.
Observação/assunção necessária (o enunciado não informou explicitamente a pressão da parte (a)):
  • Para (a) vou assumir pressão padrão P=1\\ \mathrm{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa} a menos que o enunciado queira outro valor. Mantém-se T=25^\circ\mathrm{C} nas duas partes.
Valores úteis que usarei:
  • Constante de Boltzmann \;k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Conversão de temperatura: 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Conversão de área: 1\\ \mathrm{nm}^2=10^{-18}\\ \mathrm{m}^2; logo \sigma=0,43\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 2

Fórmula e ideia física do livre percurso médio:
  • O livre percurso médio \lambda em um gás de partículas idênticas tratadas como esferas rígidas é dado pela fórmula
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde:
  • n é a densidade numérica (número de moléculas por metro cúbico),
  • \sigma é a seção eficaz de colisão (área efetiva de colisão) em \mathrm{m}^2,
  • o fator \sqrt{2} aparece porque, ao considerar colisões entre duas partículas móveis, usa-se a velocidade relativa média e a geometria efetiva das colisões.
Breve explicação didática: imagine uma molécula se movendo num mar de outras moléculas. Em um pequeno tempo \Delta t ela varre um volume efetivo aproximadamente igual a sua velocidade média vezes a seção eficaz; multiplicando pelo número de alvos por volume n dá a probabilidade de colisão. Invertendo essa taxa obtém-se a distância média entre colisões.

Passo 3

Expressar n (densidade numérica) pela equação dos gases ideais e converter unidades:
  • Usamos a relação do gás ideal para obter n:
n=\frac{P}{k_B T},
onde P é a pressão em pascal e T em kelvin.
  • Converter os dados:
    • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Seção eficaz: \sigma=0{,}43\\ \mathrm{nm}^2 = 0{,}43\times10^{-18}\\ \mathrm{m}^2 = 4{,}3\times10^{-19}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Cálculo para (a) pressão padrão P=101{,}325\\ \mathrm{kPa}=101{,}325\\ \mathrm{Pa} e T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Calcular k_B T:
k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\cdot 298{,}15 = 4{,}116405\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  1. Calcular n:
n=\frac{P}{k_B T}=\frac{101{,}325}{4{,}116405\times10^{-21}}=2{,}46169\times10^{25}\\ \mathrm{m}^{-3}.
  1. Calcular o denominador em \lambda:
\sqrt{2}\,n\,\sigma=1{,}41421356\cdot 2{,}46169\times10^{25}\cdot 4{,}3\times10^{-19}=1{,}4973437\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  1. Obter \lambda:
\lambda=\frac{1}{1{,}4973437\times10^{7}}=6{,}68027\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Converter para nanômetros (opcional para intuição):
6{,}68027\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=66{,}80\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Cálculo para (b) P=103\\ \mathrm{kPa}=103{,}000\\ \mathrm{Pa} mantendo T=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Porque n é proporcional a P, pode-se usar escala direta:
n_2=n_1\cdot\frac{P_2}{P_1}=2{,}46169\times10^{25}\cdot\frac{103{,}000}{101{,}325}=2{,}50200\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  1. Denominador:
\sqrt{2}\,n_2\,\sigma=1{,}41421356\cdot 2{,}50200\times10^{25}\cdot 4{,}3\times10^{-19}=1{,}522117\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  1. Obter \lambda_2:
\lambda_2=\frac{1}{1{,}522117\times10^{7}}=6{,}57120\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=65{,}71\\ \mathrm{nm}.
Comentário intuitivo: aumentar a pressão reduz o livre percurso médio, porque há mais moléculas por volume (mais “alvos” para colisão).

Resposta

(a) \lambda=6{,}680\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=66{,}80\\ \mathrm{nm}
(b) \lambda=6{,}571\times10^{-8}\\ \mathrm{m}=65{,}71\\ \mathrm{nm}

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