A expansão dos poluentes pela atmosfera é governada em parte pelos efeitos dos ventos, mas também pela tendência natural das moléculas em se difundirem. No caso da difusão, o processo depende da distância que uma molécula pode percorrer antes de colidir com outra molécula. Calcule o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar considerando
a
e (b) 103 kPa
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar (ou seja, a distância média entre colisões sucessivas).
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Seção eficaz de colisão (cruzamento de choque):
. - Temperatura:
. - Pressão para a parte (b):
.
Observação/assunção necessária (o enunciado não informou explicitamente a pressão da parte (a)):
- Para (a) vou assumir pressão padrão
a menos que o enunciado queira outro valor. Mantém-se nas duas partes.
Valores úteis que usarei:
- Constante de Boltzmann
. - Conversão de temperatura:
. - Conversão de área:
; logo .
Passo 2
Fórmula e ideia física do livre percurso médio:
- O livre percurso médio
em um gás de partículas idênticas tratadas como esferas rígidas é dado pela fórmula
onde:
-
é a densidade numérica (número de moléculas por metro cúbico), -
é a seção eficaz de colisão (área efetiva de colisão) em , - o fator
aparece porque, ao considerar colisões entre duas partículas móveis, usa-se a velocidade relativa média e a geometria efetiva das colisões.
Breve explicação didática: imagine uma molécula se movendo num mar de outras moléculas. Em um pequeno tempo
ela varre um volume efetivo aproximadamente igual a sua velocidade média vezes a seção eficaz; multiplicando pelo número de alvos por volume
dá a probabilidade de colisão. Invertendo essa taxa obtém-se a distância média entre colisões.
Passo 3
Expressar
(densidade numérica) pela equação dos gases ideais e converter unidades:
- Usamos a relação do gás ideal para obter
:
onde
é a pressão em pascal e
em kelvin.
- Converter os dados:
- Temperatura:
. - Seção eficaz:
.
- Temperatura:
Passo 4
Cálculo para (a) pressão padrão
e
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular o denominador em
:
- Obter
:
Converter para nanômetros (opcional para intuição):
Passo 5
Cálculo para (b)
mantendo
.
- Porque
é proporcional a , pode-se usar escala direta:
- Denominador:
- Obter
:
Comentário intuitivo: aumentar a pressão reduz o livre percurso médio, porque há mais moléculas por volume (mais “alvos” para colisão).
Resposta
(a)
(b)
(b)