A expansão dos poluentes pela atmosfera é governada em parte pelos efeitos dos ventos, mas também pela tendência natural das moléculas em se difundirem. No caso da difusão, o processo depende da distância que uma molécula pode percorrer antes de colidir com outra molécula. Calcule o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar considerando \sigma=0,43 \mathrm{~nm}^{2} a 25^{\circ} \mathrm{C} e (c) 1 Pa

Passo 1

O enunciado pede: calcular o livre percurso médio das moléculas diatômicas no ar nas condições dadas. Informações fornecidas:
  • Seção de choque (se houver colisão) \sigma = 0{,}43\\ \mathrm{nm^{2}}.
  • Temperatura 25^\circ\mathrm{C} (ou seja, T = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}).
  • Pressão p = 1\\ \mathrm{Pa}.
Queremos obter o livre percurso médio \lambda (em metros, e é conveniente também em mm para intuição).

Passo 2

Apresentando a fórmula e os conceitos (aula rápida e amigável).
  • O livre percurso médio \lambda é a distância média que uma molécula percorre entre colisões com outras moléculas.
  • Para um gás ideal de partículas idênticas a expressão usada é
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde
  • n é a densidade numérica (número de moléculas por unidade de volume), em \mathrm{m^{-3}};
  • \sigma é a seção de choque efetiva entre duas moléculas, em \mathrm{m^{2}};
  • o fator \sqrt{2} aparece porque consideramos as velocidades relativas e posições médias entre partículas idênticas (não precisa decorar se não lembrar: a fórmula padrão para partículas idênticas tem esse \sqrt{2}).
Como normalmente temos pressão e temperatura, usamos a equação dos gases ideais para escrever n em função de p e T:
n=\frac{p}{k_B T},
onde k_B é a constante de Boltzmann. Substituindo em \lambda obtém-se uma fórmula prática:
\lambda=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}.
Nesta fórmula:
  • k_B é a constante de Boltzmann: k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K};
  • T é a temperatura em kelvin;
  • p é a pressão em pascal;
  • \sigma em \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Converter unidades e listar valores numéricos a usar:
  • Converter \sigma de \mathrm{nm^{2}} para \mathrm{m^{2}}:
1\\ \mathrm{nm^{2}} = 10^{-18}\\ \mathrm{m^{2}},\quad \sigma = 0{,}43\\ \mathrm{nm^{2}} = 0{,}43\times10^{-18}\\ \mathrm{m^{2}} = 4{,}3\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Temperatura: T = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: p = 1\\ \mathrm{Pa}.
  • Constante de Boltzmann: k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.

Passo 4

Calcular o numerador k_B T:
k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\times 298{,}15 \approx 4{,}1164\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o denominador \sqrt{2}\,p\,\sigma:
\sqrt{2}\,p\,\sigma = \sqrt{2}\times 1\\ \mathrm{Pa}\times 4{,}3\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}} \approx 1{,}41421356\times 4{,}3\times10^{-19} \approx 6{,}0811\times10^{-19}.

Passo 6

Calcular \lambda usando a fórmula
\lambda=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}.
Substituindo os valores:
\lambda \approx \frac{4{,}1164\times10^{-21}}{6{,}0811\times10^{-19}} \approx 6{,}77\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Converter para unidades mais intuitivas:
6{,}77\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 6{,}77\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica de prova: o resultado significa que, a pressão muito baixa de 1\\ \mathrm{Pa} permite que moléculas do ar viajem em média alguns milímetros entre colisões — bem maior do que em pressão atmosférica. Em prova, siga sempre estas etapas: (i) converter \sigma para \mathrm{m^{2}}; (ii) usar \lambda=1/(\sqrt{2}n\sigma) com n=p/(k_B T); (iii) calcular numerador e denominador separadamente para evitar erro de escala. Você já consegue repetir isso tranquilo!

Resposta

\lambda \approx 6{,}77\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 6{,}77\\ \mathrm{mm}

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