Calcule a área das regiões do plano delimitadas pelas curvas indicadas em cada caso:
y=x^2, y=4 x-x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4x - x^2. O assunto é calcular área entre curvas, que exige achar pontos de interseção e integrar a diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Para começar, encontramos onde as duas curvas se cruzam, resolvendo x^2 = 4x - x^2. Isso dá:
2x^2 - 4x = 0 Longrightarrow 2x(x - 2) = 0 Longrightarrow x = 0 ou x = 2

Passo 3

Em seguida, determinamos qual função está acima no intervalo [0,2]. Basta avaliar um ponto intermediário, por exemplo x=1: x^2=1 e 4x - x^2=3. Logo, 4x - x^2 é a função superior e x^2 a inferior.

Passo 4

Agora montamos a integral da diferença entre a curva superior e a inferior de x=0 até x=2:
Área = integral0^2l[(4x - x^2) - x^2r],dx = integral0^2(4x - 2x^2),dxÁ

Passo 5

Por fim, calculamos essa integral:
integral0^2(4x - 2x^2),dx = l[2x^2 - tfrac23x^3r]0^2 = l(2cdot4 - tfrac23cdot8r) - 0 = 8 - tfrac163 = tfrac83

Resposta

dfrac83

Exercícios relacionados