Mostre que arcsin x+arccos x=pi / 2, para todo x in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que arcsin x + arccos x = pi/2 para todo xin[-1,1]. Isso envolve o conceito de funções inversas de seno e cosseno e usaremos derivadas para provar que essa soma é constante.

Passo 2

Definimos a função f(x)=arcsin x + arccos x. Sabemos que as derivadas dessas funções são dadas por:
ddx(arcsin x)=1raiz1-x^2,
ddx(arccos x)=-1raiz1-x^2

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddx(arcsin x)+ddx(arccos x) =1raiz1-x^2-1raiz1-x^2=0
Como f'(x)=0 em (-1,1), f é constante nesse intervalo.

Passo 4

Para descobrir o valor dessa constante, avaliamos em um ponto fácil, por exemplo x=0:
f(0)=arcsin0+arccos0=0+pi2=pi2
Logo, f(x)=pi/2 para todo xin(-1,1). Pela continuidade de arcsin e arccos, isso vale também em x=pm1.

Resposta

arcsin x + arccos x = pi/2

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