Mostre que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para todo
. Isso envolve o conceito de funções inversas de seno e cosseno e usaremos derivadas para provar que essa soma é constante.
Passo 2
Definimos a função
. Sabemos que as derivadas dessas funções são dadas por:
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Como
em
,
é constante nesse intervalo.
Passo 4
Para descobrir o valor dessa constante, avaliamos em um ponto fácil, por exemplo
:
Logo,
para todo
. Pela continuidade de
e
, isso vale também em
.