(4) Calcule as integrais definidas (todas com mudança de variável)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos lidando com o cálculo de uma integral definida que envolve uma função polinomial elevada a uma potência. Para resolver isso, vamos usar a substituição (também conhecida como troca de variável), que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando a expressão
, notamos que
está dentro de uma potência e multiplicado por
. Isso sugere que podemos usar
como nossa substituição.
Então, definimos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, a diferencial de
, em termos de
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Aqui,
e
. Portanto, os limites de integração mudam de
a
em termos de
para
a
em termos de
.
Passo 5
Simplificamos a integral com a substituição:
Agora, a integral está mais simples e podemos integrá-la facilmente.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do
(a constante de integração). Então:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração
e
na expressão:
Simplificando a fração:
Resposta
A integral definida é igual a
.