(4) Calcule as integrais definidas (todas com mudança de variável)
integral0^1 x(x^2+1)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^1 x(x^2+1)^5 dx
Aqui, estamos lidando com o cálculo de uma integral definida que envolve uma função polinomial elevada a uma potência. Para resolver isso, vamos usar a substituição (também conhecida como troca de variável), que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando a expressão x(x^2+1)^5, notamos que x^2 + 1 está dentro de uma potência e multiplicado por x. Isso sugere que podemos usar u = x^2 + 1 como nossa substituição.
Então, definimos:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, a diferencial de u, em termos de dx. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
du = 2x , dx
Isso significa que:
x , dx = du2

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral0^1 x(x^2+1)^5 dx = integralu(0)^u(1) (u)^5 cdot du2
Aqui, u(0) = (0)^2 + 1 = 1 e u(1) = (1)^2 + 1 = 2. Portanto, os limites de integração mudam de 0 a 1 em termos de x para 1 a 2 em termos de u.

Passo 5

Simplificamos a integral com a substituição:
12 integral1^2 u^5 du
Agora, a integral está mais simples e podemos integrá-la facilmente.

Passo 6

Integrando u^5 em relação a u:
integral u^5 du = u^66 + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do C (a constante de integração). Então:
12 [ u^66 ]1^2 = 112 [ u^6 ]1^2

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração u = 2 e u = 1 na expressão:
112 ( 2^6 - 1^6 ) = 112 ( 64 - 1 ) = 112 times 63 = 6312
Simplificando a fração:
6312 = 214

Resposta

A integral definida é igual a 214.

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