Calcule a área de uma seção plana feita a uma distância de 12 cm do centro de uma esfera de 37 cm de raio.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Do enunciado temos:
- Raio da esfera:
. - Distância do plano ao centro da esfera:
.
O que se pede: - A área da seção plana (a interseção do plano com a esfera), ou seja, a área do círculo formado por essa interseção.
Passo 2
Entendimento geométrico (o que realmente acontece quando um plano corta uma esfera). Quando um plano corta uma esfera, a interseção é um círculo. O centro desse círculo fica na projeção ortogonal do centro da esfera sobre o plano, e se traçarmos um segmento do centro da esfera até um ponto qualquer da circunferência desse círculo, obtemos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o raio da esfera e cujos catetos são:
- a distância do centro da esfera ao plano:
, - o raio do círculo de interseção:
.
Ou seja, formamos um triângulo retângulo com lados, e hipotenusa .
Passo 3
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo descrito, vale a relação
onde:
-
é o raio do círculo de interseção (o que queremos achar indiretamente), -
é a distância do centro ao plano (dado), -
é o raio da esfera (dado).
Passo 4
Isolando
na relação do Passo 3 e substituindo os valores numéricos:
Calculemos
e
:
Portanto
Passo 5
Agora obtemos
extraindo a raiz quadrada:
Observação:
é um quadrado perfeito,
.
Passo 6
Fórmula da área do círculo e substituição. A área de um círculo de raio
é dada por
onde
é a constante (aprox.
). Substituindo
: