Calcule a área de uma seção plana feita a uma distância de 12 cm do centro de uma esfera de 37 cm de raio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Do enunciado temos:
  • Raio da esfera: \,R=37\\ \text{cm}.
  • Distância do plano ao centro da esfera: \,d=12\\ \text{cm}.
    O que se pede:
  • A área da seção plana (a interseção do plano com a esfera), ou seja, a área do círculo formado por essa interseção.

Passo 2

Entendimento geométrico (o que realmente acontece quando um plano corta uma esfera). Quando um plano corta uma esfera, a interseção é um círculo. O centro desse círculo fica na projeção ortogonal do centro da esfera sobre o plano, e se traçarmos um segmento do centro da esfera até um ponto qualquer da circunferência desse círculo, obtemos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o raio da esfera e cujos catetos são:
  • a distância do centro da esfera ao plano: \,d,
  • o raio do círculo de interseção: \,r.
    Ou seja, formamos um triângulo retângulo com lados \,d, \,r e hipotenusa \,R.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo descrito, vale a relação
r^{2}+d^{2}=R^{2},
onde:
  • \,r é o raio do círculo de interseção (o que queremos achar indiretamente),
  • \,d é a distância do centro ao plano (dado),
  • \,R é o raio da esfera (dado).

Passo 4

Isolando \,r na relação do Passo 3 e substituindo os valores numéricos:
r^{2}=R^{2}-d^{2}.
Calculemos \,R^{2} e \,d^{2}:
R^{2}=37^{2}=1369, \qquad d^{2}=12^{2}=144.
Portanto
r^{2}=1369-144=1225.

Passo 5

Agora obtemos \,r extraindo a raiz quadrada:
r=\sqrt{1225}=35\\ \text{cm}.
Observação: \,1225 é um quadrado perfeito, \,35^{2}=1225.

Passo 6

Fórmula da área do círculo e substituição. A área de um círculo de raio \,r é dada por
A=\pi r^{2},
onde \,\pi é a constante (aprox. 3{,}14159). Substituindo \,r=35:
A=\pi\cdot 35^{2}=\pi\cdot 1225=1225\pi\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

\,1225\pi\\ \text{cm}^{2}

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