Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm , sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (anotei exatamente os valores fornecidos):
- O plano corta a esfera formando um círculo de raio
. - A distância do plano ao centro da esfera é
. - O que se pede: determinar o raio da esfera, que vou chamar de
.
Passo 2
Vamos imaginar a situação geométrica de forma simples e robusta (essa imagem mental resolve muita questão de prova). Seja
o centro da esfera e seja o plano dado. O plano corta a esfera num círculo; chamo
o centro desse círculo (o centro do círculo está justamente no ponto do plano que está mais próximo de
). A reta
é perpendicular ao plano, e seu comprimento é a distância do centro da esfera ao plano, isto é
.
Escolha um ponto
qualquer do círculo (sobre a interseção). O segmento
é um raio da esfera, logo tem comprimento
. O segmento
é um raio do círculo obtido na interseção, logo
. Observando os pontos
,
,
, vemos um triângulo retângulo em
: o ângulo em
é reto porque
é perpendicular ao plano e
está no plano.
Passo 3
No triângulo retângulo
vale o Teorema de Pitágoras. Escrevendo isso para os comprimentos, temos a relação
Aqui especifiquei o que cada símbolo significa:
-
é o raio da esfera (o que queremos), -
é a distância do centro da esfera ao plano (dado), -
é o raio do círculo de interseção (dado).
Passo 4
Agora substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Passo 5
Calculemos as potências e a soma passo a passo (para você fazer na prova sem calculadora):
Somando,
Passo 6
Tirando a raiz quadrada dos dois lados (e lembrando que raio é positivo), obtemos
Portanto o raio da esfera é
.
Passo 7
Dica rápida para a prova: sempre desenhe a seção que contém
e é perpendicular ao plano — aí a situação vira um triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras resolve. Exemplos extremos para fixar a ideia: se o plano passar pelo centro (
) então
; se o plano for tangente à esfera (
) então
. Isso ajuda a checar consistência dos resultados.