Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm , sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (anotei exatamente os valores fornecidos):
  • O plano corta a esfera formando um círculo de raio r = 20\\ \text{cm}.
  • A distância do plano ao centro da esfera é d = 21\\ \text{cm}.
  • O que se pede: determinar o raio da esfera, que vou chamar de R.

Passo 2

Vamos imaginar a situação geométrica de forma simples e robusta (essa imagem mental resolve muita questão de prova). Seja O o centro da esfera e seja o plano dado. O plano corta a esfera num círculo; chamo C o centro desse círculo (o centro do círculo está justamente no ponto do plano que está mais próximo de O). A reta OC é perpendicular ao plano, e seu comprimento é a distância do centro da esfera ao plano, isto é OC = d.
Escolha um ponto P qualquer do círculo (sobre a interseção). O segmento OP é um raio da esfera, logo tem comprimento R. O segmento CP é um raio do círculo obtido na interseção, logo CP = r. Observando os pontos O, C, P, vemos um triângulo retângulo em C: o ângulo em C é reto porque OC é perpendicular ao plano e CP está no plano.

Passo 3

No triângulo retângulo OCP vale o Teorema de Pitágoras. Escrevendo isso para os comprimentos, temos a relação
R^{2} = d^{2} + r^{2}.
Aqui especifiquei o que cada símbolo significa:
  • R é o raio da esfera (o que queremos),
  • d é a distância do centro da esfera ao plano (dado),
  • r é o raio do círculo de interseção (dado).

Passo 4

Agora substituímos os valores conhecidos na fórmula:
R^{2} = 21^{2} + 20^{2}.

Passo 5

Calculemos as potências e a soma passo a passo (para você fazer na prova sem calculadora):
21^{2} = 21 \times 21 = 441, \qquad 20^{2} = 20 \times 20 = 400.
Somando,
R^{2} = 441 + 400 = 841.

Passo 6

Tirando a raiz quadrada dos dois lados (e lembrando que raio é positivo), obtemos
R = \sqrt{841} = 29.
Portanto o raio da esfera é 29\\ \text{cm}.

Passo 7

Dica rápida para a prova: sempre desenhe a seção que contém O e é perpendicular ao plano — aí a situação vira um triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras resolve. Exemplos extremos para fixar a ideia: se o plano passar pelo centro ( d=0) então r=R; se o plano for tangente à esfera ( r=0) então d=R. Isso ajuda a checar consistência dos resultados.

Resposta

29\\ \text{cm}

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