… Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área e o volume de uma esfera cujo diâmetro é \,58\\ \mathrm{cm}\,.
Informações fornecidas:
  • Diâmetro: \,d=58\\ \mathrm{cm}.
    Perguntas a responder:
  • Qual é a área superficial da esfera?
  • Qual é o volume da esfera?

Passo 2

Converter o diâmetro em raio (porque as fórmulas usam o raio). Por definição, o raio r é metade do diâmetro. Logo:
r=\frac{d}{2}
Substituindo \,d=58\\ \mathrm{cm}\,:
r=\frac{58}{2}=29\\ \mathrm{cm}.
Interpretação rápida: o raio é a distância do centro da esfera até a superfície; aqui r=29\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Apresentar e explicar a fórmula da área superficial de uma esfera. A fórmula é:
A=4\pi r^{2}
Explicando: A é a área superficial (em \mathrm{cm}^{2}), \pi é a constante geométrica aproximadamente 3{,}14159\ldots e r é o raio (em \mathrm{cm}). A fórmula diz que a área cresce como o quadrado do raio e o fator 4\pi é a constante que aparece na geometria da esfera. Um exemplo simples: para r=1 obtém-se A=4\pi.

Passo 4

Calcular a área passo a passo usando r=29\\ \mathrm{cm}.
Calcular r^{2}:
r^{2}=29^{2}=841.
Multiplicar por 4\pi:
A=4\pi\cdot 841=3364\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.
Agora uma aproximação numérica (usar \pi\approx3{,}14159265 ou arredondar):
A\approx 3364\times 3{,}14159265 \approx 10568{,}34\\ \mathrm{cm}^{2}.
Portanto a área pode ser dada exatamente como \,3364\pi\\ \mathrm{cm}^{2}\, e aproximadamente como \,10568{,}34\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 5

Apresentar e explicar a fórmula do volume de uma esfera. A fórmula é:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}
Explicando: V é o volume (em \mathrm{cm}^{3}), \pi é a mesma constante, e r^{3} indica que o volume cresce como o cubo do raio. O fator \tfrac{4}{3}\pi vem da integração da área de discos que compõem a esfera (não precisa memorizar a derivação agora, só decorar e entender que depende de r^{3}).

Passo 6

Calcular o volume passo a passo usando r=29\\ \mathrm{cm}.
Calcular r^{3}:
r^{3}=29^{3}=24389.
Calcular 4\cdot r^{3} e formar a fração:
4\cdot 24389=97556, \qquad V=\frac{97556}{3}\pi\\ \mathrm{cm}^{3}.
Agora a aproximação numérica:
\frac{97556}{3}\approx 32518{,}666\ldots
V\approx 32518{,}666\ldots\times 3{,}14159265 \approx 102160{,}77\\ \mathrm{cm}^{3}.
Portanto o volume pode ser dado exatamente como \,\dfrac{97556}{3}\pi\\ \mathrm{cm}^{3}\, e aproximadamente como \,102160{,}77\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 7

Resumo final dos resultados (formas exatas e aproximações); prepare-se para a prova: memorize as duas fórmulas-chave
A=4\pi r^{2},\qquad V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
e pratique transformar diâmetro em raio com r=\dfrac{d}{2}.

Resposta

A=3364\pi\\ \mathrm{cm}^{2}\approx 10568{,}34\\ \mathrm{cm}^{2}
V=\dfrac{97556}{3}\pi\\ \mathrm{cm}^{3}\approx 102160{,}77\\ \mathrm{cm}^{3}

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