Calcule a área entre as seguintes curvas:
Entre y=x^2+1 e y=3 no intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado pede calcular a área entre as curvas y=x^2+1 e y=3 no intervalo [0,2]. O conteúdo aplicado é cálculo de área entre curvas usando integrais definidas, e vamos precisar identificar onde elas se cruzam e montar integrais com a função superior menos a inferior.

Passo 2

Primeiro, achamos o ponto de interseção das curvas resolvendo
x^2+1 = 3
de onde vem x^2=2 e, no intervalo dado, x=raiz2.

Passo 3

Verificamos qual curva está acima nos subintervalos. Para 0<= x<= raiz2, temos x^2+1<= 3, logo y=3 é a curva superior. Para raiz2<= x<= 2, x^2+1>= 3, então y=x^2+1 fica acima.

Passo 4

Montamos as integrais da área:
A = integral0^raiz2 l(3 - (x^2+1)r),dx ;+ ; integralraiz2^2 l((x^2+1) - 3r),dx

Passo 5

Calculamos cada parte. Na primeira:
integral0^raiz2 (2 - x^2),dx = l[2x - tfracx^33r]0^raiz2 = 2raiz2 - tfrac2raiz23 = tfrac4raiz23
Na segunda:
integralraiz2^2 (x^2 - 2),dx = l[tfracx^33 - 2xr]raiz2^2 = l(tfrac83-4r) - l(tfrac2raiz23-2raiz2r) = -tfrac43 + tfrac4raiz23 = tfrac4raiz2-43

Passo 6

Somando as duas áreas:
A = tfrac4raiz23 + tfrac4raiz2-43 = tfrac8raiz2-43

Resposta

8raiz2 - 43

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