Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de integração por partes:
Passo 1
O problema pede para calcular a integral definida
usando o método de integração por partes. Vamos precisar usar a fórmula de integração por partes:
Passo 2
Primeiro vamos encontrar uma antiderivada de
. Escolhemos
Então
Aplicando partes:
Passo 3
$$\int x2e{2x}dx = u,v - \int v,du = \frac12x2e{2x} - \int \frac12e^{2x}\cdot 2x,dx
= \frac12x2e{2x} - \int x e^{2x}dx.$$
Passo 4
Agora calculamos
também por partes. Seja
logo
Então
Passo 5
$$\int x e^{2x}dx = u,v - \int v,du = \frac12x e^{2x} - \int \frac12e^{2x}dx
= \frac12x e^{2x} - \frac14e^{2x} + C.$$
Passo 6
Voltando à antiderivada de
, temos
$$\int x2e{2x}dx = \frac12x2e{2x} - \Bigl(\frac12x e^{2x} - \frac14e^{2x}\Bigr) + C
= e{2x}\Bigl(\tfrac12x2 - \tfrac12x + \tfrac14\Bigr) + C.$$
Passo 7
Agora avaliamos de 1 a 3:
Para
Para
Para