Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de integração por partes:
integral1^3 x^2 e^2 x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida
integral1^3 x^2e^2x,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar usar a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Primeiro vamos encontrar uma antiderivada de x^2e^2x. Escolhemos
u = x^2, dv = e^2xdx
Então
du = 2x,dx, v = integral e^2xdx = tfrac12e^2x
Aplicando partes:

Passo 3

$$\int x2e{2x}dx = u,v - \int v,du = \frac12x2e{2x} - \int \frac12e^{2x}\cdot 2x,dx
= \frac12x2e{2x} - \int x e^{2x}dx.$$

Passo 4

Agora calculamos integral x e^2xdx também por partes. Seja
u = x, dv = e^2xdx,
logo
du = dx, v = tfrac12e^2x
Então

Passo 5

$$\int x e^{2x}dx = u,v - \int v,du = \frac12x e^{2x} - \int \frac12e^{2x}dx
= \frac12x e^{2x} - \frac14e^{2x} + C.$$

Passo 6

Voltando à antiderivada de x^2e^2x, temos
$$\int x2e{2x}dx = \frac12x2e{2x} - \Bigl(\frac12x e^{2x} - \frac14e^{2x}\Bigr) + C
= e{2x}\Bigl(\tfrac12x2 - \tfrac12x + \tfrac14\Bigr) + C.$$

Passo 7

Agora avaliamos de 1 a 3:
Para x=3:
e^6l(tfrac12cdot9 - tfrac12cdot3 + tfrac14r) = e^6l(tfrac9-32 + tfrac14r) = e^6l(3 + tfrac14r) = tfrac134e^6
Para x=1:
e^2l(tfrac12cdot1 - tfrac12cdot1 + tfrac14r) = e^2l(0 + tfrac14r) = tfrac14e^2

Resposta

integral1^3 x^2e^2x,dx = 14l(13e^6 - e^2r)

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