Usando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) 2 x yraizx^2+y^2=0

Passo 1

O problema pede para mostrar, usando a definição formal de limite em duas variáveis, que a função f(x,y)=2xyraizx^2+y^2 tende a 0 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite em R^2 e vamos precisar da definição existe "para todo (varepsilon>0 tal que…") e de desigualdades para estimar de0.

Passo 2

Para controlar l|f(x,y)r| = |2xyraizx^2+y^2|, usamos a desigualdade de AM–GM: para quaisquer números reais x,y, vale
|x,y| <= x^2+y^22
Multiplicando por 2, obtemos
2|x,y| <= x^2+y^2
Então
l|f(x,y)r| = 2|x,y|raizx^2+y^2 <= x^2+y^2raizx^2+y^2 = raizx^2+y^2

Passo 3

Agora, dado varepsilon>0, basta escolher de. Se 0, então
l|f(x,y)r| <= raizx^2+y^2 < de
Isso satisfaz a definição de limite em R^2, provando que
lim(x,y)to(0,0) 2xyraizx^2+y^2 = 0

Resposta

0

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