Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de frações parciais:
integral0^1 1x^3+3 x^2+3 x+1 d x

Passo 1

Aqui a gente precisa calcular a integral definida de 0 a 1 de 1/(x^3+3x^2+3x+1) usando frações parciais. O conteúdo é integração de funções racionais e vamos precisar fatorar o denominador e decompor em frações parciais antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, observe que o polinômio do denominador é um cubo perfeito:
(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
Logo a integral vira
$$
\int_{0}{1}\frac{1}{(x+1)3},dx
$$

Passo 3

Para ilustrar o método de frações parciais, escrevemos
1(x+1)^3 = Ax+1 + B(x+1)^2 + C(x+1)^3 Multiplicando ambos os lados por (x+1)^3 e comparando coeficientes, obtemos
A(x+1)^2 + B(x+1) + C = 1 Expandindo e comparando termos de grau 2, 1 e constante, vemos que A=0, B=0 e C=1. Então efetivamente
1(x+1)^3 = 1(x+1)^3

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência para integrar (x+1)^-3:
integral (x+1)^-3 ,dx = (x+1)^-2-2 = -12(x+1)^2 Finalmente, avaliamos de 0 a 1:
[-12(x+1)^2]0^1 = -12cdot4 - gl(-12cdot1^2gr) = -18 + 12 = 38

Resposta

3/8

Exercícios relacionados