Calcule a área entre as seguintes curvas:
Entre y=x+1 e y=3-x no intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas y1 = x + 1 e y2 = 3 - x no intervalo [0,2]. Vamos usar o conceito de área entre duas curvas:
A área é dada por integrala^b (curva superior - curva inferior),dx. Precisamos encontrar onde elas se cruzam e em quais trechos cada uma está acima.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção, igualamos as duas funções:
x + 1 = 3 - x
Isolando x:
2x = 2 x = 1
Portanto, as curvas se cruzam em x=1, dentro do nosso intervalo.

Passo 3

Agora determinamos qual função está acima em cada subintervalo:
  • Em [0,1], testando por exemplo x=0: y1(0)=1 e y2(0)=3, logo y2 é a curva superior.
  • Em [1,2], testando x=2: y1(2)=3 e y2(2)=1, logo y1 é a curva superior.

Passo 4

Montamos as integrais nos dois trechos:
integral0^1 l((3 - x) - (x + 1)r) dx + integral1^2 l((x + 1) - (3 - x)r) dx

Passo 5

Calculamos cada integral:
No primeiro trecho:
integral0^1 (2 - 2x) dx = l[2x - x^2r]0^1 = (2 - 1) - 0 = 1
No segundo trecho:
integral1^2 (2x - 2) dx = l[x^2 - 2xr]1^2 = (4 - 4) - (1 - 2) = 1

Passo 6

Somando as duas áreas parciais, obtemos a área total:
1 + 1 = 2

Resposta

2

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