Esboce os gráficos das funções, determinando domínio, coordenadas dos vértices e imagem.
y=-x^2+4 x-4

Passo 1

Neste exercício vamos esboçar o gráfico da função quadrática e determinar seu domínio, vértice e imagem. O conteúdo é análise de função do tipo y = ax^2 + bx + c, e precisaremos usar a fórmula do vértice e entender os conceitos de domínio e imagem.

Passo 2

Para uma função polinomial de segundo grau, o domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja R.

Passo 3

As coordenadas do vértice são dadas por xv = -tfracb2a e yv = f(xv). Aqui temos a = -1, b = 4 e c = -4, então
xv = -tfrac42cdot(-1) = 2 e substituindo em y = -x^2 + 4x - 4 obtemos yv = -2^2 + 4cdot2 - 4 = -4 + 8 - 4 = 0.

Passo 4

Como o coeficiente a = -1 é negativo, a parábola abre para baixo e o vértice é ponto de máximo. Portanto a imagem é todos os valores y menores ou iguais a yv = 0, ou seja .

Passo 5

Com essas informações, esboçamos o gráfico marcando o vértice em (2,0), traçando o eixo de simetria x = 2 e desenhando a parábola voltada para baixo que passa também pela interseção com o eixo y em (0,-4).

Resposta

Domínio: R; Vértice: (2,0); Imagem:

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