Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida abaixo usando o método de frações parciais. O assunto é decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e escrever a função como soma de frações simples:
Passo 2
Primeiro, fatoramos o polinômio do denominador e montamos a forma geral da decomposição em frações parciais. Temos:
Então procuramos constantes
e
tais que:
Passo 3
Para achar
e
, multiplicamos ambos os lados por
e obtemos a identidade:
Expandindo e igualando coeficientes em
e no termo constante, temos:
Comparando coeficientes:
Resolvendo esse sistema, achamos
e
.
Passo 4
Agora reescrevemos a integral em termos das frações simples e integramos cada parte:
Podemos integrar usando a primitiva do logaritmo natural:
Logo,
Passo 5
Por fim, aplicamos os limites de
a
e simplificamos usando propriedades de logaritmo:
Organizando,