Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de frações parciais:
integral1^4 1x^2+3 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida abaixo usando o método de frações parciais. O assunto é decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e escrever a função como soma de frações simples:
integral1^4 1x^2 + 3x + 2,dx

Passo 2

Primeiro, fatoramos o polinômio do denominador e montamos a forma geral da decomposição em frações parciais. Temos:
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
Então procuramos constantes A e B tais que:
1(x+1)(x+2) = Ax+1 + Bx+2

Passo 3

Para achar A e B), multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x+2) e obtemos a identidade:
1 = A(x+2) + B(x+1)
Expandindo e igualando coeficientes em x e no termo constante, temos:
1 = (A + B)x + (2A + B)
Comparando coeficientes:
A = 1
B = -1
Resolvendo esse sistema, achamos e .

Passo 4

Agora reescrevemos a integral em termos das frações simples e integramos cada parte:
integral 1x^2 + 3x + 2,dx = integral l(1x+1 - 1x+2r),dx
Podemos integrar usando a primitiva do logaritmo natural:
integral 1x+1,dx = ln|x+1|, integral 1x+2,dx = ln|x+2|
Logo,
integral l(1x+1 - 1x+2r),dx = ln|x+1| - ln|x+2| + C

Passo 5

Por fim, aplicamos os limites de x=1 a x=4 e simplificamos usando propriedades de logaritmo:
l[ln(x+1) - ln(x+2)r]1^4 = l(ln5 - ln6r) - l(ln2 - ln3r)
Organizando,
ln5 - ln6 - ln2 + ln3 = lnl(5cdot36cdot2r) = lnl(1512r) = lnl(54r)

Resposta

lnl(tfrac54r)

Exercícios relacionados