Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de integração por partes:
integral1^2 x^3 ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 2 de x^3ln(x),dx usando integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
para resolver.

Passo 2

Escolhemos as funções de integração por partes da seguinte forma:
u = ln(x), dv = x^3,dx
Pois a derivada de ln(x) simplifica e a primitiva de x^3 é simples.

Passo 3

Calculamos então:
du = 1x,dx, v = integral x^3,dx = x^44

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes e simplificando a integral restante, obtemos:
integral1^2 x^3ln(x),dx = l[x^44ln(x)r]1^2 - integral1^2 x^44 cdot 1x,dx = l[x^44ln(x)r]1^2 - 14integral1^2 x^3,dx

Passo 5

Agora calculamos os termos:
  1. Termo de fronteira:
l[x^44ln(x)r]1^2 = 2^44ln(2) - 1^44ln(1) = 4ln(2) - 0 = 4ln(2)
  1. Integral de x^3:
integral1^2 x^3,dx = l[x^44r]1^2 = 164 - 14 = 4 - tfrac14 = tfrac154
Substituindo de volta:
integral1^2 x^3ln(x),dx = 4ln(2) - 14cdot 154 = 4ln(2) - 1516

Resposta

4ln(2) - tfrac1516

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