Calcule a área entre as seguintes curvas.
x=y^3 e x=y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área delimitada pelas curvas x=y^3 e x=y. O conteúdo principal é integração de diferença de abscissas (diferença horizontal) em função de y. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção, decidir qual curva é a fronteira direita em cada intervalo de y e depois integrar a diferença xdireita-xesquerda.

Passo 2

Igualamos as duas curvas para achar os pontos de interseção:
y^3 = y [6pt] y^3 - y = 0 [6pt] y(y^2 - 1) = 0 [6pt] y = -1,;0,;1

Passo 3

Para cada intervalo de y entre -1 e 1, determinamos qual curva está à direita (maior x):
  • Em -1 <= y <= 0: y^3 > y, logo xdireita=y^3 e xesquerda=y.
  • Em 0 <= y <= 1: y > y^3, logo xdireita=y e xesquerda=y^3.

Passo 4

Montamos a área como soma de duas integrais:
A = integraly=-1^0 l(y^3 - yr),dy , + , integraly=0^1 l(y - y^3r),dy

Passo 5

Calculamos a primeira parte:
integral-1^0 (y^3 - y),dy = [y^44 - y^22]-1^0 = l(0 - 0r) - (14 - 12) = 14

Passo 6

Calculamos a segunda parte:
integral0^1 (y - y^3),dy = [y^22 - y^44]0^1 = (12 - 14) - 0 = 14

Passo 7

Somando as duas áreas parciais obtemos a área total.
A = 14 + 14 = 12

Resposta

12

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