Obtenha o domínio das funções abaixo.
z=5 cdot ln (x+y)raiz4-x^2-y^2, D=(x, y) in R^2 / y >=-x e x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Vamos entender qual é a tarefa aqui. Precisamos encontrar o domínio da função
z = 5 cdot ln (x + y)raiz4 - x^2 - y^2,
dentro do conjunto definido por
D = (x, y) in R^2 g| y >= -x e x^2+y^2 <= 4
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (x, y) para os quais a função está definida. Para descobrir isso, precisamos analisar as partes da função que podem restringir esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da função, que é 5 cdot ln (x + y). A função logarítmica natural, ln(t), só está definida quando o argumento t é maior que zero. Então, para que ln (x + y) esteja definido, precisamos que:
x + y > 0
Isso significa que a soma de x e y precisa ser positiva.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador, que é raiz4 - x^2 - y^2. A raiz quadrada só está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, temos:
4 - x^2 - y^2 >= 0 Rightarrow x^2 + y^2 <= 4
Isso significa que os pontos (x, y) devem estar dentro ou sobre o círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 4

Além disso, o denominador não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida. Portanto, precisamos que:
4 - x^2 - y^2 > 0 Rightarrow x^2 + y^2 < 4
Então, os pontos (x, y) devem estar dentro do círculo de raio 2, excluindo a própria circunferência.

Passo 5

Vamos também considerar a condição dada no conjunto D: y >= -x. Essa desigualdade define uma região no plano que está acima ou sobre a reta y = -x.

Passo 6

Agora, para o domínio da função, precisamos que todas as condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo:
  1. x + y > 0 (para o logaritmo),
  2. x^2 + y^2 < 4 (para a raiz),
  3. y >= -x (definido pelo conjunto D).

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem simultaneamente:
x + y > 0, x^2 + y^2 < 4, e y >= -x
Em notação matemática, o domínio é dado por
D = (x, y) in R^2 g| x + y > 0, x^2 + y^2 < 4, e y >= -x

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