Mostre que lim (x, y, z) (0,0,0) f(x, y, z) não existe nos seguintes casos:
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2x^2+y^2-z^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de uma função de três variáveis em
(0,0,0) não existe. O conteúdo envolvido é limite de função de várias variáveis e vamos usar o fato de que, para existir, o valor do limite deve ser o mesmo em toda trajetória de aproximação ao ponto.

Passo 2

Para investigar, escolhemos a trajetória no plano z=0. Nesse caso, ao aproximar (x,y,0)→(0,0,0) temos
f(x,y,0)=x^2+y^2+0^2x^2+y^2-0^2=x^2+y^2x^2+y^2=1
Isso mostra que, por essa direção, o limite vale 1.

Passo 3

Agora escolhemos a trajetória ao longo do eixo z, ou seja, x=0 e y=0. Ao aproximar (0,0,z)→(0,0,0) obtemos
f(0,0,z)=0^2+0^2+z^20^2+0^2-z^2=z^2-z^2=-1
Aqui o limite é -1.

Passo 4

Como encontramos duas trajetórias que produzem limites diferentes (1 e -1), concluímos que o valor do limite depende do caminho de aproximação, logo o limite em (0,0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe, pois pelas trajetórias z=0 e x=y=0 obtemos valores distintos (1 e -1).

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