Mostre que
não existe nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite de uma função de três variáveis em
(0,0,0) não existe. O conteúdo envolvido é limite de função de várias variáveis e vamos usar o fato de que, para existir, o valor do limite deve ser o mesmo em toda trajetória de aproximação ao ponto.
(0,0,0) não existe. O conteúdo envolvido é limite de função de várias variáveis e vamos usar o fato de que, para existir, o valor do limite deve ser o mesmo em toda trajetória de aproximação ao ponto.
Passo 2
Para investigar, escolhemos a trajetória no plano z=0. Nesse caso, ao aproximar (x,y,0)→(0,0,0) temos
Isso mostra que, por essa direção, o limite vale 1.
Passo 3
Agora escolhemos a trajetória ao longo do eixo z, ou seja, x=0 e y=0. Ao aproximar (0,0,z)→(0,0,0) obtemos
Aqui o limite é -1.
Passo 4
Como encontramos duas trajetórias que produzem limites diferentes (1 e -1), concluímos que o valor do limite depende do caminho de aproximação, logo o limite em (0,0,0) não existe.
Resposta
O limite não existe, pois pelas trajetórias z=0 e x=y=0 obtemos valores distintos (1 e -1).