Calcule as integral utilizando a substituição trigonométrica indicada. Faça um esboço do triângulo retângulo correspondente:
integral d xx^2 raiz4-x^2 x=2 sin theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dxx^2raiz4-x^2 usando a substituição trigonométrica x=2sintheta. O conteúdo aqui é “integração por substituição trigonométrica” e vamos precisar expressar dx e raiz4-x^2 em função de theta.

Passo 2

Definimos a substituição x=2sintheta. Logo,
dx=2costheta,dtheta
e
raiz4-x^2=raiz4-4sin^2theta=2costheta

Passo 3

Substituindo na integral:
integral dxx^2raiz4-x^2=integral 2costheta,dtheta(2sintheta)^2cdot2costheta = integral 2costheta4sin^2theta,2costheta,dtheta = 14integral csc^2theta,dtheta

Passo 4

Sabendo que integralcsc^2theta,dtheta=-cottheta+C, temos:
14integral csc^2theta,dtheta = -14cottheta + C

Passo 5

Para voltar a x, notamos que sintheta=tfracx2, então em um triângulo retângulo com hipotenusa 2 e cateto oposto x, o cateto adjacente vale raiz4-x^2. Assim
cottheta=cateto adjcateto op=raiz4-x^2x

Passo 6

Portanto a integral fica expressa em x.

Resposta

-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{4x}+C

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