Calcule a área dos seguintes subconjuntos de R^2 :
(a) (x, y) in R^2: y <= 5, y >=-5 x+5, y >= ln x
(b) (x, y) in R^2: x <= y <=-x^2+2
© (x, y) in R^2: y <= x^2, y <= x, y >= 12 x^2
(d) (x, y) in R^2: y <= 1 / x^2, y >= x, y <= 8 x
(e) (x, y) in R^2: y <= 2, y <= x, y >= raizx
(f) (x, y) in R^2: y <= x^2, y >=-1, x >= 0, y <= 2-x

Passo 1

A ideia geral é calcular áreas de conjuntos no plano usando integrais definidas (integração de funções limite). Em cada item identificamos as curvas ou retas que limitam a região, encontramos os pontos de interseção dessas fronteiras para determinar o intervalo de integração em x, e então montamos a integral integral (ysup-yinf),dx para obter a área.

Passo 2

Item (a): a região é dada por y<=5, y>=-5x+5 e y>=ln x. As interseções são: -5x+5=5 em x=0; ln x=5 em x=e^5; e -5x+5=ln x em x=1. Para 0 a fronteira inferior é -5x+5, e para 1 é ln x. Logo
Área = integral0^1l(5-(-5x+5)r)dx + integral1^e^5l(5-ln xr)dx = integral0^15x,dx + integral1^e^5(5-ln x),dxÁ

Passo 3

Calculando:
integral0^15x,dx = 52, integral(5-ln x)dx = 6x - xln x

Passo 4

Avalia em 1 e e^5:
6e^5 - e^5cdot5 - (6cdot1 -1cdot0) = e^5 -6

Passo 5

Somando tudo:
Área(a) = 52 + (e^5-6) = e^5 - 72Á

Passo 6

Item (b): x<= y<= -x^2+2. Precisa de x<= -x^2+2 que dá xin[-2,1]. Então
Área = integral-2^1l((-x^2+2)-xr)dx = integral-2^1(-x^2 - x +2)dxÁ

Passo 7

Integramos:
integral(-x^2 - x +2)dx = -x^33 - x^22 +2x

Passo 8

Avalia de -2 a 1 e obtém-se 9/2.

Passo 9

Item ©: temos y>= tfrac12x^2, e y<=min(x^2,,x). Mostra-se que a região existe para xin[0,2], com troca de fronteira em x=1. Então
Área = integral0^1l(x^2-tfrac12x^2r)dx + integral1^2l(x-tfrac12x^2r)dx = integral0^1x^22dx + integral1^2(x-tfrac12x^2)dxÁ

Passo 10

Calculando dá 1/6 +1/3 =1/2.

Passo 11

Item (d): limites y>= x, y<=1/x^2 e y<=8x. Sinaliza-se que a fronteira superior é 8x para 0<= x<=1/2 e 1/x^2 para 1/2<= x<=1. Logo
Área = integral0^1/2(8x - x)dx + integral1/2^1l(tfrac1x^2-xr)dx,Á

Passo 12

que resulta em 3/2.

Passo 13

Item (e): y>=raizx, y<= x e y<=2. Exige-se x>=1 e x<=4. Para 1<= x<=2 usa-se y<= x, e para 2<= x<=4 usa-se y<=2. Assim
Área = integral1^2(x-raizx)dx + integral2^4(2-raizx)dx = 56Á

Passo 14

Item (f): y>=-1, y<= x^2, y<=2-x e x>=0. A troca em x=1 separa as curvas x^2 e 2-x. Então
Área = integral0^1(x^2 -(-1))dx + integral1^3((2-x)-(-1))dx = 103Á

Resposta

As áreas são: (a) e^5 - tfrac72; (b) tfrac92; © tfrac12; (d) tfrac32; (e) tfrac56; (f) tfrac103.

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