Calcule a área dos seguintes subconjuntos de
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
A ideia geral é calcular áreas de conjuntos no plano usando integrais definidas (integração de funções limite). Em cada item identificamos as curvas ou retas que limitam a região, encontramos os pontos de interseção dessas fronteiras para determinar o intervalo de integração em
, e então montamos a integral
para obter a área.
Passo 2
Item (a): a região é dada por
,
e
. As interseções são:
em
;
em
; e
em
. Para
a fronteira inferior é
, e para
é
. Logo
Passo 3
Calculando:
Passo 4
Avalia em
e
:
Passo 5
Somando tudo:
Passo 6
Item (b):
. Precisa de
que dá
. Então
Passo 7
Integramos:
Passo 8
Avalia de
a
e obtém-se
.
Passo 9
Item ©: temos
, e
. Mostra-se que a região existe para
, com troca de fronteira em
. Então
Passo 10
Calculando dá
.
Passo 11
Item (d): limites
,
e
. Sinaliza-se que a fronteira superior é
para
e
para
. Logo
Passo 12
que resulta em
.
Passo 13
Item (e):
,
e
. Exige-se
e
. Para
usa-se
, e para
usa-se
. Assim
Passo 14
Item (f):
,
,
e
. A troca em
separa as curvas
e
. Então
Resposta
As áreas são: (a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
; (f)
.