Calcule a área dos seguintes subconjuntos de
:
Passo 1
O enunciado pede a área do subconjunto de
definido pelas desigualdades
,
,
e
. O conteúdo aqui é cálculo de área usando integrais duplas (ou integrais iteradas). Para resolver, vamos achar primeiro onde as curvas
e
se cruzam, depois dividir a região em partes onde o limite superior em
muda, e finalmente integrar em
de baixo para cima e em
de esquerda para direita.
Passo 2
Para achar onde
e
se intersectam, igualamos as expressões:
isso leva a
cuja solução em
é
(descartamos
porque requerimos
). Esse ponto
é onde o limite superior em
muda de
para
.
Passo 3
Para determinar o intervalo em
onde a região existe, notamos:
- Para
, temos , então o teto em é . - Para
, o teto em passa a ser .
Além disso, queremos que esse teto seja pelo menos, ou seja, implica . Logo a região em vai de 0 até 3, dividida em dois pedaços: de 0 a 1 e de 1 a 3.
Passo 4
Agora escrevemos a área
como soma de duas integrais iteradas:
Passo 5
Finalmente, calculamos cada integral:
Para :
Para
Para
:
Passo 6
Somando as duas partes, obtemos
.