Calcule a área dos seguintes subconjuntos de R^2: (x, y) in R^2: y <= x^2, y >=-1, x >= 0, y <= 2-x

Passo 1

O enunciado pede a área do subconjunto de R^2 definido pelas desigualdades y<= x^2, y>= -1, x>=0 e y<=2-x. O conteúdo aqui é cálculo de área usando integrais duplas (ou integrais iteradas). Para resolver, vamos achar primeiro onde as curvas y=x^2 e y=2-x se cruzam, depois dividir a região em partes onde o limite superior em y muda, e finalmente integrar em y de baixo para cima e em x de esquerda para direita.

Passo 2

Para achar onde y=x^2 e y=2-x se intersectam, igualamos as expressões:
x^2 = 2 - x
isso leva a
x^2 + x - 2 = 0
cuja solução em x é x=1 (descartamos x=-2 porque requerimos x>=0). Esse ponto x=1 é onde o limite superior em y muda de x^2 para 2-x.

Passo 3

Para determinar o intervalo em x onde a região existe, notamos:
  • Para 0<= x<=1, temos x^2<=2-x, então o teto em y é y=x^2.
  • Para x>1, o teto em y passa a ser y=2-x.
    Além disso, queremos que esse teto seja pelo menos -1, ou seja, 2-x>=-1 implica x<=3. Logo a região em x vai de 0 até 3, dividida em dois pedaços: de 0 a 1 e de 1 a 3.

Passo 4

Agora escrevemos a área A como soma de duas integrais iteradas:
A = integralx=0^1 integraly=-1^x^2 dy,dx + integralx=1^3 integraly=-1^2-x dy,dx

Passo 5

Finalmente, calculamos cada integral:
Para 0<= x<=1:
integralx=0^1 l(x^2 - (-1)r),dx = integral0^1 (x^2+1),dx = l[tfracx^33 + xr]0^1 = tfrac13 + 1 = tfrac43
Para 1<= x<=3:
integralx=1^3 l((2-x) - (-1)r),dx = integral1^3 (3-x),dx = l[3x - tfracx^22r]1^3 = (9 - tfrac92) - (3 - tfrac12) = tfrac92 - tfrac52 = 2

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos A = tfrac43 + 2 = tfrac103.

Resposta

tfrac103

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