Considere a função g: R R definida por:
g(x)=integral2^x e^t^2 d t
(a) Justifique que g^prime(x)=e^x^2, forall x in R.
(b) Prove que g tem precisamente um zero.

Passo 1

A questão define a função g: Rto R por g(x)=integral2^xe^t^2,dt. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter g'(x) e depois analisar o caráter monotônico de g para mostrar que ela tem exatamente uma raiz.

Passo 2

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte I), se G(x)=integrala^xf(t),dt com f contínua, então G'(x)=f(x). Aqui f(t)=e^t^2 é contínua em R. Logo,
g'(x)=e^x^2, forall xin R

Passo 3

Como e^x^2>0 para todo x, concluímos que g'(x)>0 em R. Portanto g é estritamente crescente.

Passo 4

Note que g(2)=integral2^2e^t^2,dt=0. Para x<2, como a integral vai de um valor maior para um menor, temos g(x)<0; para x>2, g(x)>0. Assim g(x)=0 só pode ocorrer em x=2, e essa é a única solução.

Resposta

A equação g(x)=0 tem exatamente uma solução, que é x=2.

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