Considere a função
definida por:
(a) Justifique que
.
(b) Prove que
tem precisamente um zero.
(b) Prove que
Passo 1
A questão define a função
por
. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter
e depois analisar o caráter monotônico de
para mostrar que ela tem exatamente uma raiz.
Passo 2
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte I), se
com
contínua, então
. Aqui
é contínua em
. Logo,
Passo 3
Como
para todo
, concluímos que
em
. Portanto
é estritamente crescente.
Passo 4
Note que
. Para
, como a integral vai de um valor maior para um menor, temos
; para
,
. Assim
só pode ocorrer em
, e essa é a única solução.
Resposta
A equação
tem exatamente uma solução, que é
.