Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções:
(a) G(x)=integral1^x ln t d t
© G(x)=integral0^x d tt^2-4
(e) G(x)=integral0^x^2 e^-t^2 d t
(b) G(x)=integralx^0 raiz1+t^4 d t
(d) G(x)=integral3^x d tt^2-4
(f) G(x)=integral2^e^x 1ln t d t.

Passo 1

O enunciado pede para cada função G determinar: domínio, intervalos onde G é crescente ou decrescente e eventuais extremos locais. Vamos usar principalmente o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e a definição de monotonia via derivada.

Passo 2

Quando temos uma função do tipo G(x)=integrala^h(x)f(t),dt, o TFC + regra da cadeia nos dá G'(x)=fl(h(x)r),h'(x) Se o limite inferior também depende de x, isto é G(x)=integralg(x)^h(x)f(t),dt, usamos a fórmula de Leibniz para obter as parcelas de g'(x) e h'(x). Sabendo G'(x), concluímos monotonia por G'>0 (crescente) ou G'<0 (decrescente). Extremos locais ocorrem onde G'(x)=0 (e mudamos de sinal).

Passo 3

Para (a) G(x)=integral1^xln t,dt: Domínio exige t>0, logo x>0. Pelo TFC, G'(x)=ln x. Zera em x=1, pois ln1=0. Em 0, ln x<0 G' <0 (decrescente). Em x>1, ln x>0 G'>0 (crescente). Há mínimo local em x=1.

Passo 4

Para (b) G(x)=integralx^0raiz1+t^4,dt=-integral0^xraiz1+t^4,dt: Aqui o integrando está definido para todo tin R, então xin R. Derivando: G'(x)=-raiz1+x^4<0 sempre. Logo G é estritamente decrescente em R e não há extremos.

Passo 5

Para © G(x)=integral0^xdtt^2-4: O integrando tem singularidades em t=2 e t=-2. O caminho de 0 até x não pode cruzar pm2, então o domínio de x fica em (-2,2). Pelo TFC, G'(x)=1/(x^2-4)<0 em (-2,2) (denominador negativo), logo G decrescente e sem extremos.

Passo 6

Para (d) G(x)=integral3^xdtt^2-4: Mesma integrando, singular em pm2. Como o caminho parte de 3, para não passar por t=2 ou -2 precisamos de x>2. Assim o domínio é (2,infty). Então G'(x)=1/(x^2-4)>0 em (2,infty), G crescente, sem extremos.

Passo 7

Para (e) G(x)=integral0^x^2e^-t^2,dt: O domínio é todo R. Pelo TFC + cadeia, G'(x)=e^-(x^2)^2cdot2x=2x e^-x^4 Zera em x=0. Para x<0, G'<0 (decrescente); para x>0, G'>0 (crescente). Há mínimo local em x=0.

Passo 8

Para (f) G(x)=integral2^e^xdtln t: O integrando exige t>0,,tneq1. O caminho é de 2 até e^x. Se e^x<=1 (ou seja x<=0), passaríamos por t=1, singular. Em x>0, e^x>1 e o caminho fica acima de 1, sem singular. Logo domínio (0,infty). A derivada é G'(x)=1ln(e^x)cdot e^x=e^xx,sempre positiva em (0,infty). G é crescente e não tem extremos.

Resposta

(a) Domínio: x>0. Decrescente em (0,1), crescente em (1,infty). Mínimo local em x=1.
(b) Domínio: R. Estritamente decrescente em R. Sem extremos.
© Domínio: (-2,2). Estritamente decrescente em (-2,2). Sem extremos.
(d) Domínio: (2,infty). Estritamente crescente em (2,infty). Sem extremos.
(e) Domínio: R. Decrescente em (-infty,0), crescente em (0,infty). Mínimo local em x=0.
(f) Domínio: (0,infty). Estritamente crescente em (0,infty). Sem extremos.

Exercícios relacionados