Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções:
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
.
(a)
©
(e)
(b)
(d)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para cada função G determinar: domínio, intervalos onde G é crescente ou decrescente e eventuais extremos locais. Vamos usar principalmente o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e a definição de monotonia via derivada.
Passo 2
Quando temos uma função do tipo
, o TFC + regra da cadeia nos dá
Se o limite inferior também depende de
, isto é
, usamos a fórmula de Leibniz para obter as parcelas de
e
. Sabendo
, concluímos monotonia por
(crescente) ou
(decrescente). Extremos locais ocorrem onde
(e mudamos de sinal).
Passo 3
Para (a)
: Domínio exige
, logo
. Pelo TFC,
. Zera em
, pois
. Em
,
⇒
(decrescente). Em
,
⇒
(crescente). Há mínimo local em
.
Passo 4
Para (b)
: Aqui o integrando está definido para todo
, então
. Derivando:
sempre. Logo G é estritamente decrescente em
e não há extremos.
Passo 5
Para ©
: O integrando tem singularidades em
e
. O caminho de
até
não pode cruzar
, então o domínio de
fica em
. Pelo TFC,
em
(denominador negativo), logo G decrescente e sem extremos.
Passo 6
Para (d)
: Mesma integrando, singular em
. Como o caminho parte de 3, para não passar por
ou
precisamos de
. Assim o domínio é
. Então
em
, G crescente, sem extremos.
Passo 7
Para (e)
: O domínio é todo
. Pelo TFC + cadeia,
Zera em
. Para
,
(decrescente); para
,
(crescente). Há mínimo local em
.
Passo 8
Para (f)
: O integrando exige
. O caminho é de 2 até
. Se
(ou seja
), passaríamos por
, singular. Em
,
e o caminho fica acima de 1, sem singular. Logo domínio
. A derivada é
sempre positiva em
. G é crescente e não tem extremos.
Resposta
(a) Domínio:
. Decrescente em
, crescente em
. Mínimo local em
.
(b) Domínio: . Estritamente decrescente em
. Sem extremos.
© Domínio: . Estritamente decrescente em
. Sem extremos.
(d) Domínio: . Estritamente crescente em
. Sem extremos.
(e) Domínio: . Decrescente em
, crescente em
. Mínimo local em
.
(f) Domínio: . Estritamente crescente em
. Sem extremos.
(b) Domínio:
© Domínio:
(d) Domínio:
(e) Domínio:
(f) Domínio: