Seja
a função definida por
.
(a) Determine a área da porção de plano limitada pelo gráfico de
, pelas rectas
e
.
(b) Sem calcular os integrais, prove que
.
(a) Determine a área da porção de plano limitada pelo gráfico de
(b) Sem calcular os integrais, prove que
Passo 1
O enunciado nos pede a) a área da região sob a curva h(x)=
, limitada pelas retas x=0, x=
e y=0; b) provar que
sem calcular explicitamente os integrais. Vamos usar integrais definidas, identidade trigonométrica e propriedade de monotonia da integral.
Passo 2
A área A sob a curva de x=0 a x=
é dada pela integral definida da função h(x):
Passo 3
Para calcular o integral, usamos a identidade trigonométrica
. Logo:
Avaliando de 0 a
:
Passo 4
Na parte (b), note que em
temos
. Como
, multiplicando a desigualdade
por
obtemos
Integrando ambos os lados de 0 a
e usando a propriedade de que a integral preserva desigualdade para funções não-negativas, concluímos
Resposta
a)
. b) Pelo fato de em
ter
, segue
e, integrando,
.