Seja h a função definida por h(x)=tg^2 x.
(a) Determine a área da porção de plano limitada pelo gráfico de h, pelas rectas x=0, x=pi4 e y=0.
(b) Sem calcular os integrais, prove que integral0^pi / 4 tg^3 x d x <= integral0^pi / 4 tg^2 x d x.

Passo 1

O enunciado nos pede a) a área da região sob a curva h(x)= tan^2 x, limitada pelas retas x=0, x= pi/4 e y=0; b) provar que integral0^pi/4tan^3 x,dx<=integral0^pi/4tan^2 x,dx sem calcular explicitamente os integrais. Vamos usar integrais definidas, identidade trigonométrica e propriedade de monotonia da integral.

Passo 2

A área A sob a curva de x=0 a x= pi/4 é dada pela integral definida da função h(x):
A=integral0^pi/4tan^2 x,dx

Passo 3

Para calcular o integral, usamos a identidade trigonométrica tan^2 x=sec^2 x-1. Logo:
integral tan^2 x,dx=integral(sec^2 x-1),dx=tan x - x + C
Avaliando de 0 a pi/4:
A=[tan x - x]0^pi/4=(1-tfracpi4)-(0-0)=1-tfracpi4

Passo 4

Na parte (b), note que em [0,pi/4] temos 0<=tan x<=1. Como tan^2 x>=0, multiplicando a desigualdade tan x<=1 por tan^2 x obtemos
tan^3 x<=tan^2 x
Integrando ambos os lados de 0 a pi/4 e usando a propriedade de que a integral preserva desigualdade para funções não-negativas, concluímos
integral0^pi/4tan^3 x,dx<=integral0^pi/4tan^2 x,dx

Resposta

a) 1 - tfracpi4. b) Pelo fato de em [0,pi/4] ter tan x<=1, segue tan^3 x<=tan^2 x e, integrando, integral0^pi/4tan^3 x,dx<=integral0^pi/4tan^2 x,dx.

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