Utilize a substituição x=2 sen t para calcular
integral0^1 x^2raiz4-x^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral0^1 x^2raiz4-x^2,dx usando a substituição trigonométrica x=2sin t. Vamos usar conceitos de substituição em integrais definidas e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Fazendo a substituição x=2sin t, temos de imediato
x=2sin t, dx=2cos t,dt, x^2=4sin^2t, raiz4-x^2=raiz4-4sin^2t=2cos t

Passo 3

Assim o diferencial da integral fica
x^2raiz4-x^2,dx=4sin^2t2cos tcdot 2cos t,dt=4sin^2t,dt

Passo 4

Agora ajustamos os limites. Quando x=0, tem-se sin t=0 e t=0. Quando x=1, sin t=tfrac12 e t=tfracpi6. Logo
integral0^1x^2raiz4-x^2,dx=4integral0^pi/6sin^2t,dt

Passo 5

Para integrar sin^2t, usamos a identidade
sin^2t=1-cos2t2

Passo 6

Logo
4integralsin^2t,dt=4integral1-cos2t2,dt=2integral(1-cos2t),dt=2l(t-tfracsin2t2r)+C

Passo 7

Finalmente avaliamos de 0 a tfracpi6:
4integral0^pi/6sin^2t,dt=2l[t-tfracsin2t2r]0^pi/6=2l(tfracpi6-tfracsin(pi/3)2r)=2l(tfracpi6-tfracraiz3/22r)=pi3-raiz32

Resposta

pi3-raiz32

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