Considere a função F: R R definida por: F(x)=integralx^2^2 traize^t+1 d t Mostre que F tem precisamente dois zeros e calcule-os.

Passo 1

O enunciado define a função
F(x)= integralx^2^2 traize^t+1,dt
Estamos em conteúdo de análise de sinais de função dada por integral. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para entender como o sinal de F depende de x, analisando o integrando.

Passo 2

Definimos o integrando
h(t)= traize^t+1.
Note que para todo t>=0 temos h(t)>=0, com h(t)>0 sempre que t>0, e h(0)=0. Além disso, h é contínua em R.

Passo 3

Como x^2>=0 sempre, existem três casos:
• Se x^2<2, então integramos h de um ponto menor que 2 até 2, logo F(x)= integralx^2^2h(t)dt>0, pois h>0 em (x^2,2].
• Se x^2=2, então F(x)= integral2^2h(t)dt=0.
• Se x^2>2, então F(x)= integralx^2^2h(t)dt=-integral2^x^2h(t)dt<0.

Passo 4

Para achar os zeros de F, basta resolver x^2=2. Assim,
x=±√2.
Não há outros pontos onde F(x)=0, porque em |x|<√2 temos F(x)>0 e em |x|>√2 temos F(x)<0.

Resposta

x=\pm\sqrt{2}

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