Considere a função
definida por:
Mostre que
tem precisamente dois zeros e calcule-os.
Passo 1
O enunciado define a função
F(x)=
Estamos em conteúdo de análise de sinais de função dada por integral. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para entender como o sinal de F depende de x, analisando o integrando.
Passo 2
Definimos o integrando
h(t)=
.
Note que para todo t>=0 temos h(t)>=0, com h(t)>0 sempre que t>0, e h(0)=0. Além disso, h é contínua em
.
Passo 3
Como x^2>=0 sempre, existem três casos:
• Se x^2<2, então integramos h de um ponto menor que 2 até 2, logo F(x)=
, pois h>0 em (x^2,2].
• Se x^2=2, então F(x)=
.
• Se x^2>2, então F(x)=
.
Passo 4
Para achar os zeros de F, basta resolver x^2=2. Assim,
x=±√2.
Não há outros pontos onde F(x)=0, porque em |x|<√2 temos F(x)>0 e em |x|>√2 temos F(x)<0.
Resposta
x=\pm\sqrt{2}