Calcule lim x 1 integral1^x sen(t^2-1) d tx^2-x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto1 dfracintegral1^xsin(t^2-1),dtx^2-x. O conteúdo envolvido é limites de quocientes do tipo 0/0, o uso do Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais dependentes de parâmetro e a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação: quando xto1 temos
integral1^1sin(t^2-1),dt=0 e 1^2-1=0, ou seja, forma 0/0.
Como é indeterminação 0/0, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos autoriza a derivar numerador e denominador separadamente. Para a derivada do numerador usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a derivada de F(x)=integral1^xf(t),dt é F'(x)=f(x).

Passo 3

Derivamos o numerador e o denominador:
– Numerador: ddxintegral1^xsin(t^2-1),dt=sin(x^2-1).
– Denominador: ddx(x^2-x)=2x-1.
Então o limite original passa a ser
limxto1sin(x^2-1)2x-1
Agora basta avaliar em x=1.

Passo 4

Substituindo x=1: no numerador fica sin(1^2-1)=sin(0)=0, e no denominador 2cdot1-1=1. Logo o quociente é 0/1=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados