Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
. O conteúdo envolvido é limites de quocientes do tipo
, o uso do Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais dependentes de parâmetro e a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Verificamos o tipo de indeterminação: quando
temos
e
, ou seja, forma
.
Como é indeterminação , aplicamos a Regra de L’Hôpital, que nos autoriza a derivar numerador e denominador separadamente. Para a derivada do numerador usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a derivada de
é
.
Como é indeterminação
Passo 3
Derivamos o numerador e o denominador:
– Numerador: .
– Denominador: .
Então o limite original passa a ser
– Numerador:
– Denominador:
Então o limite original passa a ser
Agora basta avaliar em
.
Passo 4
Substituindo
: no numerador fica
, e no denominador
. Logo o quociente é
.
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