Calcule a área de uma semicircunferência de raio 9 cm .

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos\n
  • Pedem: calcular a área de uma semicircunferência.\n
  • O enunciado dá: raio igual a \,9\\ \text{cm}\,.\n
    Portanto a tarefa é: a partir do valor do raio \,9\\ \text{cm}\,, encontrar a área da semicircunferência correspondente.

Passo 2

Lembrando a fórmula da área de um círculo e o que cada símbolo significa\n
  • A área de um círculo de raio r é dada por
A_{\text{círculo}}=\pi r^{2}.í
Aqui:
  • \pi é a constante que relaciona o comprimento da circunferência ao seu diâmetro (aproximadamente \,3,14159\ldots), e
  • r é o raio do círculo (a distância do centro até a borda), medido na mesma unidade da área que queremos (aqui centímetros).\n
    Explicação curta do porquê dessa fórmula (intuição): a área cresce com o quadrado do tamanho linear ( r^{2}) e o fator \pi é o fator de proporcionalidade que aparece por causa da forma circular — essa é a forma padrão conhecida e usada em provas.

Passo 3

Por que a área da semicircunferência é metade da área do círculo\n
  • Uma semicircunferência é exatamente metade do círculo (metade da região dentro da circunferência). Logo, a área da semicircunferência é metade da área do círculo inteiro. Em fórmula:
A_{\text{semicírculo}}=\tfrac{1}{2}A_{\text{círculo}}=\tfrac{1}{2}\pi r^{2}.íí
Isso já dá a relação que vamos aplicar ao raio dado.

Passo 4

Substituir o valor do raio na fórmula e simplificar simbolicamente\n
  • O raio fornecido é \,r=9\\ \text{cm}\,. Substituindo em \tfrac{1}{2}\pi r^{2}:
A_{\text{semicírculo}}=\tfrac{1}{2}\pi(9)^{2}.í
  • Calcular 9^{2}:
9^{2}=81.
  • Portanto a expressão simplificada é
A_{\text{semicírculo}}=\tfrac{1}{2}\pi\cdot 81.í

Passo 5

Escrever a forma exata e preparar a aproximação numérica (se quiser valor em cm²)\n
  • A forma exata, mais compacta, é
A_{\text{semicírculo}}=\tfrac{81}{2}\,\pi\\ \text{cm}^{2}.í
  • Para obter um valor numérico aproximado em centímetros quadrados, basta usar uma aproximação para \pi. Uma aproximação muito comum e prática para cálculo manual é \pi\approx 3,1416. Então:
A_{\text{semicírculo}}\approx \tfrac{81}{2}\times 3,1416.í
  • Passo intermédio: \tfrac{81}{2}=40,5, logo precisamos calcular 40,5\times 3,1416. Fazendo em partes (método manual):
    • 40,5\times 3 = 121,5,
    • 40,5\times 0,1416 = 40,5\times \dfrac{1416}{10000} = \dfrac{40,5\times 1416}{10000} = \dfrac{57348}{10000}=5,7348.
    • Somando: 121,5+5,7348=127,2348 (este é o valor aproximado usando \pi\approx 3,1416). Podemos arredondar conforme a precisão desejada.

Passo 6

Resumo didático final e incentivo\n
  • Então, em provas: escreva a fórmula da área do círculo, divida por 2 para semicircunferência, substitua r=9 e simplifique para \tfrac{81}{2}\pi. Se pedirem número aproximado, multiplique \tfrac{81}{2} por uma aproximação de \pi (por exemplo 3,1416) usando a decomposição em partes como mostrei.\n
  • Fica a dica: apresentar a forma exata \tfrac{81}{2}\pi\\ \text{cm}^{2} vale muito em prova; se pedirem valor numérico, apresente também o valor aproximado com o arredondamento pedido. Você foi bem — falta pouco!

Resposta

\dfrac{81}{2}\pi\\ \text{cm}^{2} \approx 127,235\\ \text{cm}^{2}

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