Dados
e
dois campos escalares definidos em
, mostre que dada
uma curva de Jordan,
e consequentemente mostre que
Passo 1
O enunciado pede para, dado dois campos escalares f e g em ℝ³ e uma curva fechada C, mostrar primeiro que as circulações satisfazem
Em seguida, usando uma superfície S com contorno ∂S = C, usar o Teorema de Stokes para obter
Precisaremos lembrar das identidades de gradiente de produto e do rotacional, além do Teorema Fundamental das Integrais de Linha e do Teorema de Stokes.
Passo 2
Vamos usar a identidade do gradiente do produto de escalares. Se h = f g, então por regra do produto em cálculo vetorial temos
Passo 3
Agora integramos ambos os lados dessa identidade ao longo da curva fechada C, projetando com
. Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, a circulação de um gradiente ao longo de C é zero, ou seja
Passo 4
Separando os termos dessa integral, obtemos
e daí segue imediatamente
que é a primeira igualdade pedida.
Passo 5
Para a segunda parte, aplicamos o Teorema de Stokes à linha ∂S:
Passo 6
Precisamos então do rotacional do produto escalar: existe a identidade vetorial
Isso vem de expandir o rotacional e usar que
Passo 7
Substituindo essa identidade na fórmula de Stokes, concluímos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.