Dados f e g dois campos escalares definidos em R^3, mostre que dada C uma curva de Jordan,
ointC f(nabla g) cdot d r=-ointC g(nabla f) cdot d r
e consequentemente mostre que
ointpartial S f(nabla g) cdot d r=integral duplaS[(nabla f) times(nabla g)] cdot n d S

Passo 1

O enunciado pede para, dado dois campos escalares f e g em ℝ³ e uma curva fechada C, mostrar primeiro que as circulações satisfazem
ointC f(nabla g)cdot dr ,=,-ointC g(nabla f)cdot dr
Em seguida, usando uma superfície S com contorno ∂S = C, usar o Teorema de Stokes para obter
ointpartial S f(nabla g)cdot dr ,=,integral duplaS[(nabla f)times(nabla g)]cdotn,dS
Precisaremos lembrar das identidades de gradiente de produto e do rotacional, além do Teorema Fundamental das Integrais de Linha e do Teorema de Stokes.

Passo 2

Vamos usar a identidade do gradiente do produto de escalares. Se h = f g, então por regra do produto em cálculo vetorial temos
nabla(fg) ,=,f,nabla g ,+,g,nabla f

Passo 3

Agora integramos ambos os lados dessa identidade ao longo da curva fechada C, projetando com dr. Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, a circulação de um gradiente ao longo de C é zero, ou seja
ointC nabla(fg)cdot dr ,=,0

Passo 4

Separando os termos dessa integral, obtemos
ointC f(nabla g)cdot dr ,+, ointC g(nabla f)cdot dr ,=,0,
e daí segue imediatamente
ointC f(nabla g)cdot dr ,=,-ointC g(nabla f)cdot dr,
que é a primeira igualdade pedida.

Passo 5

Para a segunda parte, aplicamos o Teorema de Stokes à linha ∂S:
ointpartial S f(nabla g)cdot dr ,=,integral duplaS l(nablatimes [f(nabla g)]r)cdotn,dS

Passo 6

Precisamos então do rotacional do produto escalar: existe a identidade vetorial
nablatimes [f(nabla g)] ,=, (nabla f)times(nabla g)
Isso vem de expandir o rotacional e usar que nablatimes(nabla g)=0.

Passo 7

Substituindo essa identidade na fórmula de Stokes, concluímos
ointpartial S f(nabla g)cdot dr ,=,integral duplaS [(nabla f)times(nabla g)]cdotn,dS,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

ointC f(nabla g)cdot dr=-ointC g(nabla f)cdot dr, e ointpartial S f(nabla g)cdot dr=integral duplaS[(nabla f)times(nabla g)]cdotn,dS.

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