Dado um campo vetorial
, onde
e
, calcule a integral
, onde
é a fronteira de um quadrado de lado
em torno da origem, percorrida em sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
e
. Vamos usar o Teorema de Green para a parte suave e cálculo direto para o termo singular.
Passo 2
Decompondo o campo em duas partes: a parte suave
e a parte singular
Passo 3
Para
calculamos a rotação
Como
é suave em toda a região do quadrado, pelo Teorema de Green temos
.
Passo 4
Para
fazemos cálculo direto em cada lado do quadrado de lado
:
- Nas arestas horizontais
temos , então a contribuição é nula. - Nas arestas verticais
, parametrizamos por de a e obtemos
Logo
.
Passo 5
Somando as contribuições de
e
, ambas nulas, concluímos que
Resposta
0