Dado um campo vetorial F=P i+Q j, onde P(x, y)= x e^-y^2 e Q(x, y)=-x^2 y e^-y^2+1 /(x^2+y^2), calcule a integral ointC F cdot d r, onde C é a fronteira de um quadrado de lado 2 a em torno da origem, percorrida em sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC vec Fcdot dvec r=ointC P,dx+Q,dy, onde P(x,y)=x e^-y^2 e Q(x,y)=-x^2y e^-y^2+1/(x^2+y^2). Vamos usar o Teorema de Green para a parte suave e cálculo direto para o termo singular.

Passo 2

Decompondo o campo em duas partes: a parte suave
vec F1=(x e^-y^2) i+(-x^2y e^-y^2) j
e a parte singular
vec F2=0 i+1x^2+y^2 j.

Passo 3

Para vec F1 calculamos a rotação
partial Q1partial x-partial P1partial y =partial(-x^2y e^-y^2)partial x-partial(x e^-y^2)partial y =-2xy e^-y^2+2xy e^-y^2=0
Como vec F1 é suave em toda a região do quadrado, pelo Teorema de Green temos ointCvec F1cdot dvec r=0.

Passo 4

Para vec F2 fazemos cálculo direto em cada lado do quadrado de lado 2a:
  • Nas arestas horizontais y=pm a temos dy=0, então a contribuição é nula.
  • Nas arestas verticais x=pm a, parametrizamos por y de -a a a e obtemos
integral-a^a1a^2+y^2,dy-integral-a^a1a^2+y^2,dy=0
Logo ointCvec F2cdot dvec r=0.

Passo 5

Somando as contribuições de vec F1 e vec F2, ambas nulas, concluímos que
ointCvec Fcdot dvec r=0

Resposta

0

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