Calcule a área sob o gráfico de cada função no intervalo dado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico de f(x)=1−x² no intervalo [−1,1], ou seja, aplicar integração definida para obter a área. O conteúdo envolvido é o cálculo de integrais definidas e uso do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Para computar a área sob a curva, reconhecemos que f(x)=1−x² é não negativa em [−1,1] (pois 1−x²≥0 sempre que |x|≤1). Então a área pedida é dada por ∫_{−1}^{1}(1−x²)dx.
Passo 3
Precisamos achar uma primitiva F(x) de f(x). Calculando:
$$\nF(x)=\int(1−x{2}),dx=x−\frac{x{3}}{3}+C
$$
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a área é F(1)−F(−1). Vamos calcular: F(1)=1−1/3=2/3 e F(−1)=−1−(−1/3)=−2/3.
Passo 5
Subtraindo, obtemos a área: F(1)−F(−1)=\frac{2}{3}−(−\frac{2}{3})=\frac{4}{3}.
Portanto, a área sob o gráfico de f(x)=1−x² no intervalo [−1,1] é 4/3.
Portanto, a área sob o gráfico de f(x)=1−x² no intervalo [−1,1] é 4/3.
Resposta
\frac{4}{3}