Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
y=3 x ; x+y=4 e y=x

Passo 1

O problema pede para esboçar as retas y=3x, y=x e x+y=4 e calcular a área da região limitada por elas. Vamos usar geometria analítica: encontrar interseções de retas e depois calcular a área do triângulo formado.

Passo 2

Para achar as interseções, resolvemos as equações em pares:
y=3x com y=x:
3x = x implies x=0,;y=0
y=3x com x+y=4:
x+3x=4 implies x=1,;y=3
y=x com x+y=4:
x+x=4 implies x=2,;y=2
Os vértices do triângulo são A(0,0), B(1,3) e C(2,2).

Passo 3

Para esboçar o gráfico, desenhe:
– A reta y=3x passando pela origem e subida íngreme.
– A reta y=x como bissetriz do 1.º e 3.º quadrantes.
– A reta x+y=4 é a linha que cruza os eixos em (4,0) e (0,4).
A região limitada é o triângulo ABC.

Passo 4

Para calcular a área do triângulo, usamos a fórmula do determinante:
Área = 12 l|x1y2 + x2y3 + x3y1 - (y1x2 + y2x3 + y3x1)r| Á
Substituindo (x1,y1)=(0,0), (x2,y2)=(1,3), (x3,y3)=(2,2):
Área = 12 l|0cdot3 + 1cdot2 + 2cdot0 - (0cdot1 + 3cdot2 + 2cdot0)r| = 12 |2 - 6| = 2 Á

Resposta

2

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