Esboce o gráfico e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.
y=1+cos (x), y=2 e x=pi

Passo 1

Nesse exercício vamos esboçar o gráfico de y = 1 + cos(x), da reta y = 2 e da reta vertical x = pi, e calcular a área da região fechada por essas curvas. O conteúdo principal é cálculo de área entre curvas usando integral definida.

Passo 2

Primeiro, identifica onde a curva y = 1 + cos(x) cruza a reta y = 2. Fazendo 1 + cos(x) = 2 resulta cos(x) = 1, logo x = 2kpi. No intervalo de interesse para o esboço, o ponto relevante é x = 0. Assim a região delimitada está entre x = 0 (interseção) e x = pi (reta vertical dada).
No esboço, a curva y = 1 + cos(x) inicia em (0,2) e decresce até (pi,0). A reta y = 2 forma o limite superior, e a reta x = pi é o limite direito. O limite esquerdo é o ponto de interseção em x = 0, fechando a região.

Passo 3

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a fórmula
A = integrala^b l(ytopo - yfundor),dx
Aqui temos ytopo = 2 e yfundo = 1 + cos(x), com a = 0 e b = pi. Assim montamos
A = integral0^pi l(2 - (1 + cos(x))r),dx = integral0^pi l(1 - cos(x)r),dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
integral0^pi 1,dx = pi,
integral0^pi cos(x),dx = sin(x) |0^pi = 0
Portanto
A = pi - 0 = pi

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é pi.

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