Determine a área da região do primeiro quadrante que é delimitada por y=raizx e y=x-2 integrando em relação a x, em seguida determine esta mesma área integrando em relação a y.

Passo 1

A ideia é encontrar a área da região no 1º quadrante limitada pelas curvas y=raizx, y=x-2 e pelo eixo x. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar achar interseções, montar integrais em x e em y.

Passo 2

Primeiro achamos pontos que fecham a região. No eixo x: y=raizx intercepta em x=0 e y=x-2 intercepta em x=2. As duas curvas se intersectam em raizx=x-2, isto é,
raizx=x-2Longrightarrow x=(x-2)^2= x^2-4x+4Longrightarrow x^2-5x+4=0Longrightarrow x=1 ou 4
Descartamos x=1 (fora de x>=2), ficando a interseção em x=4,,y=2.

Passo 3

Montamos a integral em x. Para 0<= x<=2 a região vai de y=0 até y=raizx. Para 2<= x<=4 vai de y=x-2 até y=raizx. Então
A=integral0^2raizx,dx;+ integral2^4l(raizx-(x-2)r)dx
Calculamos separadamente:
integral0^2raizx,dx=[tfrac23x^3/2]0^2=tfrac23cdot2^3/2=tfrac4raiz23,
integral2^4raizx,dx=[tfrac23x^3/2]2^4=tfrac23(8-2raiz2)=tfrac163-tfrac4raiz23,

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integral2^4(x-2)dx=[tfracx^22-2x]2^4=x08igl(8-8r)-l(2-4r)=0-(-2)=2
Somando as partes:
$$
A=\tfrac{4\sqrt2}{3}+\Bigl(\tfrac{10}{3}-\tfrac{4\sqrt2}{3}\Bigr)=\tfrac{10}{3}.$$

Passo 4

Agora integramos em y. Invertendo: de y=0 a 2, a curva de baixo vira x=y^2 e a de cima x=y+2. Então
A=integral0^2l((y+2)-y^2r)dy =integral0^2y,dy+integral0^22,dy-integral0^2y^2,dy =l[tfracy^22r]0^2+l[2yr]0^2-l[tfracy^33r]0^2 =2+4-tfrac83=tfrac103

Resposta

103

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