Calcule a área sob o gráfico de y=f(x) entre x=a e x=b, esboçando cada região, se:
f(x)=x^2+2 x, x=-1, x=3

Passo 1

A função que temos é f(x)=x^2+2x e queremos a área entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [-1,3]. Para isso vamos usar integrais definidas e lembrar que, quando f(x) fica abaixo do eixo, a integral dá valor negativo, mas a área é o módulo desse valor.

Passo 2

Primeiro vamos achar onde f(x) corta o eixo x, resolvendo x^2+2x=0. Isso dá raízes em x=0 e x=-2. No nosso intervalo só interessa x=0, então dividimos em dois pedaços: de -1 a 0, onde f(x)<0, e de 0 a 3, onde f(x)>0.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de f(x). Uma delas é
F(x)=x^33+x^2
Agora calculamos
integral-1^0f(x),dx=F(0)-F(-1)=0-l(-tfrac13+1r)= -tfrac23
Como essa parte está abaixo do eixo, a área vale l| -tfrac23r|=tfrac23.

Passo 4

Para a parte de cima, fazemos
integral0^3f(x),dx=F(3)-F(0)=l(tfrac273+9r)-0=18
Aqui o valor já é positivo e representa diretamente a área.

Passo 5

Somando as duas áreas (módulo da parte negativa mais parte positiva) obtemos
tfrac23+18=tfrac2+543=tfrac563

Resposta

563

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