Calcule a área sob o gráfico de y=f(x) entre x=a e x=b, esboçando cada região, se:
f(x)=|x|, x=-2, x=6

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de f(x)=|x| entre x=a=−2 e x=b=6. O conteúdo é cálculo de integrais definidas de funções definidas por partes (valor absoluto). Para resolver, vamos usar a definição de |x| em cada intervalo e integrar.

Passo 2

Primeiro esboçamos o gráfico de y=|x|, que é um V: para x<0 temos |x|=−x, e para x≥0 temos |x|=x. Entre x=−2 e x=6 surgem duas regiões: uma de −2 a 0 (com altura crescente de 2 a 0) e outra de 0 a 6 (com altura de 0 a 6).

Passo 3

Na região de x∈[−2,0], temos f(x)=−x. A área A₁ é dada por
A1=integral-2^0(-x),dx
Para calcular, sabemos que a primitiva de −x é −x²/2, portanto
A1=[-x^22]-2^0=0-l(-(-2)^22r)=2

Passo 4

Na região de x∈[0,6], temos f(x)=x. A área A₂ é
A2=integral0^6x,dx
A primitiva de x é x²/2, logo
A2=[x^22]0^6=6^22-0=18

Passo 5

Somando as duas áreas obtidas em cada pedaço, a área total sob y=|x| de −2 a 6 é
A=A1+A2=2+18=20

Resposta

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