Calcule a área sob o gráfico de
entre
e
, esboçando cada região, se:
Passo 1
O enunciado pede a área sob o gráfico de f(x)=|x| entre x=a=−2 e x=b=6. O conteúdo é cálculo de integrais definidas de funções definidas por partes (valor absoluto). Para resolver, vamos usar a definição de |x| em cada intervalo e integrar.
Passo 2
Primeiro esboçamos o gráfico de y=|x|, que é um V: para x<0 temos |x|=−x, e para x≥0 temos |x|=x. Entre x=−2 e x=6 surgem duas regiões: uma de −2 a 0 (com altura crescente de 2 a 0) e outra de 0 a 6 (com altura de 0 a 6).
Passo 3
Na região de x∈[−2,0], temos f(x)=−x. A área A₁ é dada por
Para calcular, sabemos que a primitiva de −x é −x²/2, portanto
Passo 4
Na região de x∈[0,6], temos f(x)=x. A área A₂ é
A primitiva de x é x²/2, logo
Passo 5
Somando as duas áreas obtidas em cada pedaço, a área total sob y=|x| de −2 a 6 é
Resposta
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