Encontre a série de maclaurin de
usando a definição de uma série de Maclaurin. (Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.) Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin de f(x) e o raio de convergência. O conteúdo aqui é expansão em série de potências centrada em x=0 usando a definição
, e vamos precisar calcular as derivadas de f em 0.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de f(x)=
e seus valores em zero:
Logo,
Passo 3
Agora montamos a série de Maclaurin usando
Substituindo os valores:
Passo 4
Como a série resultou num polinômio de grau 2 (coeficientes nulos a partir de
), o raio de convergência é infinito. Podemos concluir que a série converge para todo
.
Resposta
Série de Maclaurin:
. Raio de convergência:
.