Encontre a série de maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. (Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) longrightarrow 0.) Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=(1-x)^2

Passo 1

O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin de f(x) e o raio de convergência. O conteúdo aqui é expansão em série de potências centrada em x=0 usando a definição f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!x^n, e vamos precisar calcular as derivadas de f em 0.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f(x)= (1-x)^2 e seus valores em zero:
f(x)=(1-x)^2
f'(x)=-2(1-x)
f''(x)=2
f'''(x)=0 para todo x.
Logo,
f(0)=1,
f'(0)=-2,
f''(0)=2,
f^(n)(0)=0 para n>=3.

Passo 3

Agora montamos a série de Maclaurin usando
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n
Substituindo os valores:
f(x)=f(0)0!x^0+f'(0)1!x^1+f''(0)2!x^2+sumn=3^infty0cdot x^n=1-2x+22x^2=1-2x+x^2

Passo 4

Como a série resultou num polinômio de grau 2 (coeficientes nulos a partir de n=3), o raio de convergência é infinito. Podemos concluir que a série converge para todo xin R.

Resposta

Série de Maclaurin: 1-2x+x^2. Raio de convergência: R=infty.

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