Calcule a área sob o gráfico de f entre x=a e x=b.
f(x)=raizx+1,[a, b]=[0,4]

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de f(x)=√x+1 entre x=a=0 e x=b=4. O conteúdo é integração definida, pois a área entre a curva e o eixo Ox é dada por ∫_0^4 f(x) dx.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, escrevemos a área como soma de duas integrais: primeiro de √x e depois de 1:
integral0^4(raizx+1),dx=integral0^4raizx,dx+integral0^4 1,dx

Passo 3

Agora achamos as antiderivadas:
Para raizx=x^1/2, a primitiva é (2/3)x^3/2.
Para 1, a primitiva é x.
Então:
integral0^4raizx,dx=l[tfrac23x^3/2r]0^4 eintegral0^4 1,dx=[x]0^4

Passo 4

Basta avaliar nos limites:
integral0^4raizx,dx=tfrac23cdot4^3/2-0=tfrac23cdot8=tfrac163
integral0^4 1,dx=4-0=4
Somando dá tfrac163+4=tfrac163+tfrac123=tfrac283.

Resposta

283

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