Calcule a área sob o gráfico de f entre x=a e x=b.
f(x)=3+sen x,[a, b]=[0, pi2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob a curva f(x)=3+sen x entre x=a=0 e x=b=π/2. Isso equivale ao cálculo da integral definida integral0^pi/2(3+senx),dx, usando o teorema fundamental do cálculo e antiderivadas.

Passo 2

Para resolver, encontramos uma antiderivada F(x) de f(x). Sabemos que integral 3,dx=3x e que integralsenx,dx=-cos x, pois a derivada de -cos x é senx. Logo,
F(x)=3x-cos x

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo,
integral0^pi/2(3+senx),dx=Fl(tfracpi2r)-F(0)

Passo 4

Agora avaliamos:
Fl(tfracpi2r)=3cdottfracpi2-cosl(tfracpi2r)=tfrac3pi2-0,
F(0)=3cdot0-cos0=-1

Passo 5

Subtraindo, obtemos
tfrac3pi2-0-(-1)=tfrac3pi2+1

Resposta

tfrac3pi2+1

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