Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Caso seja exata, encontre a sua solução geral.
(4 x^3+4 x y) d x+(2 x^2+2 y-1) d y=0

Passo 1

O enunciado pede verificar se a EDO (4x^3+4xy),dx+(2x^2+2y-1),dy=0 é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo é EDOs exatas e vamos precisar do teste de exatidão partial Mpartial y=partial Npartial x e de construir uma função potencial psi(x,y).

Passo 2

Identificamos M(x,y)=4x^3+4xy e N(x,y)=2x^2+2y-1. Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4x, partial Npartial x=4x
Como partial M/partial y=partial N/partial x=4x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial psi(x,y) que satisfaça partialpsi/partial x=M. Integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integral(4x^3+4xy),dx = x^4+2x^2y + h(y),

Passo 4

Para determinar h(y), usamos partialpsi/partial y=2x^2+h'(y) e igualamos a N(x,y)=2x^2+2y-1, obtendo
2x^2+h'(y)=2x^2+2y-1 implies h'(y)=2y-1 implies h(y)=y^2-y

Passo 5

Assim, a função potencial é psi(x,y)=x^4+2x^2y+y^2-y e a solução geral implícita é dada por:

Resposta

x^4+2x^2y+y^2-y=C

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