Encontre uma parametrizaçāo da curva resultante das interseções entre as superficies abaixo:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma parametrização da curva de interseção entre a superfície quadrática
e o plano
. O conteúdo envolve fatoração de diferença de quadrados e parametrização de retas no espaço. Para resolver, vamos: fatorar a expressão, identificar as retas no plano e então dar a parametrização de cada uma.
Passo 2
Começamos aplicando a identidade de diferença de quadrados
à expressão
. Aqui
e
, logo
Desenvolvendo cada fator,
Passo 3
Da fatoração vemos que a superfície se decompõe em duas retas dadas por
[
\quade\quad
\quade\quad
Passo 4
Agora basta parametrizar cada reta. Para a reta
no plano
, escolhemos um parâmetro
para
:
Passo 5
Para a reta
(ou
) no mesmo plano, usamos um parâmetro
:
Resposta
Duas parametrizações que cobrem toda a curva de interseção são:
Para a reta
:
$$\mathbf{r}_1(t) = (t,,6 - t,,15),\quad t \in \mathbb{R}.
$$