Encontre uma parametrizaçāo da curva resultante das interseções entre as superficies abaixo:
(x-3)^2-(3-y)^2=0 e z=15.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização da curva de interseção entre a superfície quadrática (x-3)^2 - (3-y)^2 = 0 e o plano z=15. O conteúdo envolve fatoração de diferença de quadrados e parametrização de retas no espaço. Para resolver, vamos: fatorar a expressão, identificar as retas no plano e então dar a parametrização de cada uma.

Passo 2

Começamos aplicando a identidade de diferença de quadrados a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) à expressão (x-3)^2 - (3-y)^2. Aqui a = x-3 e b = 3-y, logo
(x-3)^2 - (3-y)^2 = (x-3 - (3-y)),(x-3 + (3-y))
Desenvolvendo cada fator,
x-3 - (3-y) = x-3-3+y = x + y - 6,
x-3 + (3-y) = x-3+3-y = x - y

Passo 3

Da fatoração vemos que a superfície se decompõe em duas retas dadas por
[
x + y - 6 = 0, z = 15,
\quade\quad
x - y = 0, z = 15

Passo 4

Agora basta parametrizar cada reta. Para a reta x + y = 6 no plano z=15, escolhemos um parâmetro t para x:
x = t, y = 6 - t, z = 15

Passo 5

Para a reta x - y = 0 (ou y = x) no mesmo plano, usamos um parâmetro s:
x = s, y = s, z = 15

Resposta

Duas parametrizações que cobrem toda a curva de interseção são:
Para a reta x+y=6:
$$\mathbf{r}_1(t) = (t,,6 - t,,15),\quad t \in \mathbb{R}.
r1(t) = (t,,6 - t,,15), t in R \mathbf{r}_2(s) = (s,,s,,15),\quad s \in \mathbb{R}.
$$

Exercícios relacionados