Calcule a área sob o gráfico de y=f(x) entre x=a e x=b, esboçando cada região, se:
y=1(2 x+1)^2, x=1, x=2

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y=f(x) entre x=1 e x=2, onde
f(x)=1(2x+1)^2
O conteúdo aqui é cálculo de área pela integral definida de uma função não negativa. Vamos precisar montar
A = integral1^2 f(x),dx
e calcular esse integral.

Passo 2

Primeiro, esboce mentalmente a região: para x de 1 a 2, o denominador 2x+1 varia de 3 a 5, então f(x)>0 e decrescente. A região está limitada abaixo pelo eixo x, à esquerda pela reta x=1, à direita por x=2 e acima pela curva y=1/(2x+1)^2.

Passo 3

Escrevemos a área como integral definida:
A = integral1^2 1(2x+1)^2,dx

Passo 4

Para calcular, usamos a substituição
u = 2x+1, du = 2,dxLongrightarrow dx=du2
Quando x=1, u=3; quando x=2, u=5. Logo,
A = integralu=3^5 1u^2cdotdu2 = 12integral3^5 u^-2,du

Passo 5

Integramos u^-2:
integral u^-2,du = -u^-1
Portanto,
A = 12l[-u^-1r]3^5 = 12l(-tfrac15 + tfrac13r) = 12cdot215 = 115

Resposta

A área sob o gráfico de y=1(2x+1)^2 entre x=1 e x=2 é
115

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