Estude a convergência das séries. Obs. Escreva o teste de convergência utilizado em cada série.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da integral para séries cujos termos são positivos e decrescentes.
Passo 2
Definimos a função contínua
Verificamos que
para
. Para ver que é decrescente, calculamos
Para
temos
, logo
. Assim
é decrescente a partir de algum ponto, o que basta para aplicar o teste da integral.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral comparando a série com a integral imprópria
Fazendo integração por partes com
temos
portanto
Calculando o segundo termo,
Logo
Quando
, o termo dominante
. Portanto a integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, se
diverge, então a série
também diverge. Como o comportamento dos primeiros termos não afeta a convergência, concluímos que
diverge.
Resposta
A série diverge pelo teste da integral.