Estude a convergência das séries. Obs. Escreva o teste de convergência utilizado em cada série.
sumn=1^+infty ln (n)raizn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty ln(n)raizn
Aqui o conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da integral para séries cujos termos são positivos e decrescentes.

Passo 2

Definimos a função contínua
f(x)=ln(x)raizx, x>=2
Verificamos que f(x)>0 para x>=2. Para ver que é decrescente, calculamos
f'(x) =1xraizx-ln(x)12raizxx =2- ln(x)2raizxx =2-ln(x)2x^3/2
Para x>e^2 temos ln(x)>2, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente a partir de algum ponto, o que basta para aplicar o teste da integral.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral comparando a série com a integral imprópria
integral2^inftyln(x)raizx,dx
Fazendo integração por partes com
u=ln(x), dv=x^-1/2dx,
temos
du=dxx, v=2raizx,
portanto
integral2^Tln(x)raizx,dx =l[2raizx,ln(x)r]2^T -2integral2^Tx^-1/2,dx
Calculando o segundo termo,
2integral2^Tx^-1/2,dx =2l[2raizxr]2^T =4(raizT-raiz2)
Logo
integral2^Tln(x)raizx,dx =2raizT,ln(T)-4raizT-l(2raiz2ln(2)-4raiz2r)
Quando Ttoinfty, o termo dominante 2raizT(ln(T)-2)toinfty. Portanto a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se
integral2^inftyf(x),dx
diverge, então a série
sumn=2^inftyf(n)
também diverge. Como o comportamento dos primeiros termos não afeta a convergência, concluímos que
sumn=1^inftyln(n)raizn
diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da integral.

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