Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=2 cos (x^2) cdot sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=2cosl(x^2r),sin(2x). Para isso vamos usar a regra do produto (pois há um produto entre duas funções) e a regra da cadeia (para derivar cos(x^2) e sin(2x)).

Passo 2

Seja
u(x)=2cosl(x^2r)
e
v(x)=sin(2x)
Então f(x)=u(x),v(x) e, pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Derivando u(x)=2cosl(x^2r) pela regra da cadeia:
u'(x)=2cdotddxl[cos(x^2)r] =2cdotl[-sin(x^2)r]cdotddx(x^2) =2cdotl[-sin(x^2)r]cdot(2x) =-4xsin(x^2)

Passo 4

Derivando v(x)=sin(2x) pela regra da cadeia:
v'(x)=cos(2x)cdotddx(2x) =cos(2x)cdot2 =2cos(2x)

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =l[-4xsin(x^2)r]sin(2x) +l[2cos(x^2)r]l[2cos(2x)r]
Isso resulta em
f'(x)=-4xsin(x^2)sin(2x)+4cos(x^2)cos(2x)

Resposta

f'(x)=-4xsin(x^2)sin(2x)+4cos(x^2)cos(2x)

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