Resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
sujeita a
O conteúdo necessário é:
) montar a equação característica,
) encontrar suas raízes,
) escrever a solução geral e
) usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Associamos a equação característica
Testando
vemos que
logo
é raiz. Fazendo a divisão sintética, obtemos
Resolvendo
pelo
:
assim
Passo 3
Como as raízes são
e
, a solução geral é
Passo 4
Calculemos as derivadas e apliquemos as condições iniciais.
Derivando:
Derivando:
Em
:
Para a segunda derivada,
Em
fica
E de
já temos
Passo 5
O sistema para
Da terceira equação dá
, logo
.
Então
Então
Passo 6
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial: