Resolver o problema de valor inicial dado.
4 y^prime prime prime+y^prime+5 y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)= 1, y^prime prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
4y''' + y' + 5y = 0,
sujeita a
y(0)=2, y'(0)=1, y''(0)=-1
O conteúdo necessário é: 1) montar a equação característica, 2) encontrar suas raízes, 3) escrever a solução geral e 4) usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Associamos a equação característica
4r^3 + r + 5 = 0
Testando r=-1 vemos que
4(-1)^3 +(-1)+5 = -4 -1 +5 = 0,
logo r=-1 é raiz. Fazendo a divisão sintética, obtemos
4r^3 + r +5 = (r+1)l(4r^2 -4r +5r)
Resolvendo 4r^2 -4r +5=0 pelo De<a:
De<a = (-4)^2 -4cdot4cdot5 =16 -80 = -64,
assim
r = 4pmraiz-648 = 4pm8,i8 = 12 pm i

Passo 3

Como as raízes são r1=-1 e r2,3=tfrac12pm i, a solução geral é
y(t) = C1 e^-t + e^t/2l(C2cos t + C3sin tr)

Passo 4

Calculemos as derivadas e apliquemos as condições iniciais.
Derivando:
y'(t) = -C1e^-t + e^t/2l((tfrac12C2 + C3)cos t + (tfrac12C3 - C2)sin tr)
Em t=0:
y'(0) = -C1 + l(tfrac12C2 + C3r) = 1
Para a segunda derivada,
y''(t) = e^t/2l((tfrac12(tfrac12C2+C3)+(tfrac12C3-C2))cos t + (tfrac12(tfrac12C3-C2)-(tfrac12C2+C3))sin tr)
Em t=0 fica
y''(0) = tfrac12(tfrac12C2+C3) + (tfrac12C3 - C2) = -tfrac34C2 + C3 = -1
E de y(0)=2 já temos
C1 + C2 = 2

Passo 5

O sistema para
Da terceira equação , logo .
Então

Passo 6

Substituindo C1,C2,C3 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(t) = 29e^-t ;+; e^t/2!l(tfrac169cos t + tfrac13sin tr)

Resposta

y(t) = 29e^-t + e^t/2l(tfrac169cos t + tfrac13sin tr)

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