Calcule a área superficial do sólido obtido ao girar ao redor do eixo y a região limitada por (x-R)^2+y^2=r^2, onde 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área superficial de um sólido que surge quando giramos uma certa região em torno do eixo y. A região é limitada pela equação (x - R)^2 + y^2 = r^2, onde 0 < r < R. Para isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação (x - R)^2 + y^2 = r^2. Essa é a equação de um círculo com centro em (R, 0) e raio r. Como 0 < r < R, o círculo está completamente à direita da origem.

Passo 3

Como queremos girar essa região ao redor do eixo y, vamos precisar expressar x em função de y para facilitar a integração. Vamos isolar x na equação do círculo:
(x - R)^2 + y^2 = r^2 implies (x - R)^2 = r^2 - y^2 implies x - R = pm raizr^2 - y^2 implies x = R pm raizr^2 - y^2
Isso nos dá duas funções: x = R + raizr^2 - y^2 e x = R - raizr^2 - y^2.

Passo 4

A área superficial de um sólido de revolução em torno do eixo y pode ser calculada usando a fórmula:
A = 2pi integralc^d x raiz1 + (dxdy)^2 , dy
Aqui, x é a função em termos de y, e c e d são os limites de integração para y.

Passo 5

Vamos escolher a função que representa a fronteira externa do sólido para calcular a área. Nesse caso, vamos usar x = R + raizr^2 - y^2. Agora, precisamos encontrar a derivada dxdy:
dxdy = ddy(R + raizr^2 - y^2) = ddyraizr^2 - y^2 = -yraizr^2 - y^2

Passo 6

Agora, vamos substituir x e dxdy na fórmula da área superficial:
A = 2pi integral-r^r (R + raizr^2 - y^2) raiz1 + (-yraizr^2 - y^2)^2 , dy
Simplificando o interior da raiz:
1 + (yraizr^2 - y^2)^2 = 1 + y^2r^2 - y^2 = r^2r^2 - y^2
Então, a expressão fica:
A = 2pi integral-r^r (R + raizr^2 - y^2) rraizr^2 - y^2 , dy

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
A = 2pi R integral-r^r rraizr^2 - y^2 , dy + 2pi integral-r^r r , dy
A primeira integral:
2pi R r integral-r^r 1raizr^2 - y^2 , dy = 2pi R r cdot [arcsin(yr)]-r^r = 2pi R r cdot (pi2 - (-pi2)) = 2pi R r cdot pi = 2pi^2 R r
A segunda integral:
2pi r integral-r^r dy = 2pi r cdot (2r) = 4pi r^2

Passo 8

Agora, somamos as duas partes para obter a área total:
A = 2pi^2 R r + 4pi r^2

Resposta

A área superficial do sólido é A = 2pi^2 R r + 4pi r^2.

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