Calcule a área superficial do sólido obtido ao girar ao redor do eixo a região limitada por , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área superficial de um sólido que surge quando giramos uma certa região em torno do eixo . A região é limitada pela equação , onde . Para isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve um pouco de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação . Essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Como , o círculo está completamente à direita da origem.
Passo 3
Como queremos girar essa região ao redor do eixo , vamos precisar expressar em função de para facilitar a integração. Vamos isolar na equação do círculo:
Isso nos dá duas funções: e .
Passo 4
A área superficial de um sólido de revolução em torno do eixo pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, é a função em termos de , e e são os limites de integração para .
Passo 5
Vamos escolher a função que representa a fronteira externa do sólido para calcular a área. Nesse caso, vamos usar . Agora, precisamos encontrar a derivada :
Passo 6
Agora, vamos substituir e na fórmula da área superficial: