Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição de limite, que (a) e (b) . O conteúdo principal é a definição formal de limite: dizemos que se, para todo , existe tal que sempre que então .
Passo 2
Para a parte (a), vamos aplicar a definição com , e . Calculemos a diferença em módulo:
Dado varepsilon>0, basta escolher
de
pois, se 0<|x-1|, então
|2+4x3-2|=4|x-1|3<43cdot3varepsilon4=varepsilon
Assim, a demonstração de (a) está completa.
Passo 3
Para a parte (b), note que para xneq2 a expressão simplifica:
x^2+x-6x-2=(x-2)(x+3)x-2=x+3
Queremos mostrar que limxto2(x+3)=5. Então consideramos
|x^2+x-6x-2-5|=|x+3-5|=|x-2|
Dado varepsilon>0, é imediato escolher
de
pois, se 0<|x-2|, então
|x-2|
o que mostra |f(x)-5|. Assim, a demonstração de (b) está concluída.