Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de de limite.
(a) lim x 1 2+4 x3=2
(b) lim x 2 x^2+x-6x-2=5

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição varepsilon,de de limite, que (a) limxto12+4x3=2 e (b) limxto2x^2+x-6x-2=5. O conteúdo principal é a definição formal de limite: dizemos que limxto af(x)=L se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que 0<|x-a| então |f(x)-L|.

Passo 2

Para a parte (a), vamos aplicar a definição com f(x)=2+4x3, a=1 e L=2. Calculemos a diferença em módulo:
|2+4x3-2| =|2+4x-63| =4|x-1|3
Dado varepsilon>0, basta escolher
de
pois, se 0<|x-1|, então
|2+4x3-2|=4|x-1|3<43cdot3varepsilon4=varepsilon
Assim, a demonstração de (a) está completa.

Passo 3

Para a parte (b), note que para xneq2 a expressão simplifica:
x^2+x-6x-2=(x-2)(x+3)x-2=x+3
Queremos mostrar que limxto2(x+3)=5. Então consideramos
|x^2+x-6x-2-5|=|x+3-5|=|x-2|
Dado varepsilon>0, é imediato escolher
de
pois, se 0<|x-2|, então
|x-2|
o que mostra |f(x)-5|. Assim, a demonstração de (b) está concluída.

Resposta

Os limites são 2 e 5, respectivamente.

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